与えられた不定積分 $\int \frac{x+3}{x^2+x+4} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた不定積分 $\int \frac{x+3}{x^2+x+4} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、分母を平方完成します。

$x^2 + x + 4 = (x + \frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 + 4 = (x + \frac{1}{2})^2 + \frac{15}{4}$.

次に、分子を分母の微分形に近づけます。分母の微分は $2x+1$ です。

$x+3 = \frac{1}{2}(2x+1) + \frac{5}{2}$.

与えられた積分は以下のように書き換えられます。

$\int \frac{x+3}{x^2+x+4} dx = \int \frac{\frac{1}{2}(2x+1) + \frac{5}{2}}{x^2+x+4} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x+1}{x^2+x+4} dx + \frac{5}{2} \int \frac{1}{x^2+x+4} dx$.

最初の積分は、置換積分で計算できます。 $u = x^2+x+4$ とおくと、$du = (2x+1)dx$ となり、

$\frac{1}{2} \int \frac{2x+1}{x^2+x+4} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \ln|u| + C_1 = \frac{1}{2} \ln|x^2+x+4| + C_1$.

2番目の積分は、平方完成された分母を利用します。

$\frac{5}{2} \int \frac{1}{x^2+x+4} dx = \frac{5}{2} \int \frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2 + \frac{15}{4}} dx$.

$v = x + \frac{1}{2}$ とおくと、$dv = dx$ となり、

$\frac{5}{2} \int \frac{1}{v^2 + \frac{15}{4}} dv = \frac{5}{2} \int \frac{1}{v^2 + (\sqrt{\frac{15}{4}})^2} dv = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{15}{4}}} \arctan(\frac{v}{\sqrt{\frac{15}{4}}}) + C_2 = \frac{5}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{15}} \arctan(\frac{2v}{\sqrt{15}}) + C_2 = \frac{5}{\sqrt{15}} \arctan(\frac{2x+1}{\sqrt{15}}) + C_2 = \frac{\sqrt{15}}{3} \arctan(\frac{2x+1}{\sqrt{15}}) + C_2$.

したがって、元の積分は、

$\int \frac{x+3}{x^2+x+4} dx = \frac{1}{2} \ln|x^2+x+4| + \frac{\sqrt{15}}{3} \arctan(\frac{2x+1}{\sqrt{15}}) + C$.

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \ln(x^2+x+4) + \frac{\sqrt{15}}{3} \arctan(\frac{2x+1}{\sqrt{15}}) + C$