与えられた6つの三角関数の式を計算し、選択肢の中から正しい値を選ぶ問題です。

1. 問題の内容

与えられた6つの三角関数の式を計算し、選択肢の中から正しい値を選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\tan(\arccos(\frac{1}{4}))$

$\theta = \arccos(\frac{1}{4})$ とおくと、$\cos\theta = \frac{1}{4}$ であり、$0 \le \theta \le \pi$。

$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = 1 - (\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$。

$\sin\theta = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$ (∵ $\sin\theta \ge 0$)。

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\frac{\sqrt{15}}{4}}{\frac{1}{4}} = \sqrt{15}$。

選択肢13

(2) $\sin(\arctan 3)$

$\theta = \arctan 3$ とおくと、$\tan\theta = 3$ であり、$-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$。

$\sin\theta = \frac{3}{\sqrt{10}}$, $\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{10}}$

$\sin(\arctan 3) = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$.

選択肢15

(3) $\arccos(\cos(\frac{7\pi}{4}))$

$\cos(\frac{7\pi}{4}) = \cos(-\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$。

$\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

選択肢3

(4) $\arccos(\sin(\frac{\pi}{7}))$

$\arccos(\sin(\frac{\pi}{7})) = \arccos(\cos(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{7})) = \arccos(\cos(\frac{5\pi}{14})) = \frac{5\pi}{14}$.

選択肢4

(5) $\arcsin x + \arccos \sqrt{1-x^2}$ (ただし $0 \le x \le 1$)

$x = \sin\theta$ とおくと、$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$。

$\arcsin x + \arcsin \sqrt{1-x^2} = \theta + \arccos \sqrt{1-\sin^2\theta} = \arcsin x + \arccos (\cos \theta) = \arcsin x + \theta = \theta + \theta$

$\sqrt{1-x^2} = \cos\theta$

$\arcsin x + \arccos \sqrt{1-x^2} = \arcsin x + \arccos (\cos\theta) = \theta + \theta$. $\theta=\arcsin x$

$\arcsin x + \arccos \sqrt{1-x^2} = \arcsin x + \arcsin x = \arcsin x +\theta$. $\theta=\arcsin \sqrt{1-x^2}=\frac{\pi}{2} - \arcsin x$

$\arcsin x + \arccos \sqrt{1-x^2} = \arcsin x + \frac{\pi}{2} - \arcsin x = \frac{\pi}{2}$

選択肢5

(6) $\arcsin^2 x + \arccos^2 x$

$(\arcsin x + \arccos x)^2 = \arcsin^2 x + \arccos^2 x + 2\arcsin x\arccos x$

$\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$

$\arcsin x\arccos x = \arcsin x(\frac{\pi}{2} - \arcsin x)$

$(\frac{\pi}{2})^2 = \arcsin^2 x + \arccos^2 x + 2\arcsin x \arccos x$

$\arcsin^2 x + \arccos^2 x = (\frac{\pi}{2})^2 - 2\arcsin x \arccos x = \frac{\pi^2}{4} - 2\arcsin x (\frac{\pi}{2}-\arcsin x) = \frac{\pi^2}{4} - \pi\arcsin x + 2\arcsin^2 x$

$x$に依存する

選択肢17

3. 最終的な答え

(1): 13

(2): 15

(3): 3

(4): 4

(5): 5

(6): 17