次の関数を微分し、空欄を埋めよ。 (1) $y = (x + 1)(2x - 1)$ (2) $y = (x - 2)(x^2 + 2x - 3)$ (3) $y = (2x - 1)^3$ (4) $y = (x - 2)^2(x - 3)$

1. 問題の内容

次の関数を微分し、空欄を埋めよ。

(1) $y = (x + 1)(2x - 1)$

(2) $y = (x - 2)(x^2 + 2x - 3)$

(3) $y = (2x - 1)^3$

(4) $y = (x - 2)^2(x - 3)$

2. 解き方の手順

(1) $y = (x + 1)(2x - 1)$ を展開すると $y = 2x^2 + x - 1$ となる。これを微分すると、

$\frac{dy}{dx} = 4x + 1$

よって、アは4、イは1。

(2) $y = (x - 2)(x^2 + 2x - 3)$ を展開すると $y = x^3 + 2x^2 - 3x - 2x^2 - 4x + 6 = x^3 - 7x + 6$ となる。これを微分すると、

$\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 7$

よって、ウは3、エは7。

(3) $y = (2x - 1)^3$ を微分するには、合成関数の微分を使う。$u = 2x - 1$ とすると、$y = u^3$。$\frac{dy}{du} = 3u^2$、$\frac{du}{dx} = 2$ なので、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 3(2x - 1)^2 \cdot 2 = 6(4x^2 - 4x + 1) = 24x^2 - 24x + 6$

よって、オは24、カは24、キは6。

(4) $y = (x - 2)^2(x - 3) = (x^2 - 4x + 4)(x - 3) = x^3 - 3x^2 - 4x^2 + 12x + 4x - 12 = x^3 - 7x^2 + 16x - 12$。これを微分すると、

$\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 14x + 16$

よって、クは3、ケは14、コは16。

3. 最終的な答え

(1) ア: 4, イ: 1

(2) ウ: 3, エ: 7

(3) オ: 24, カ: 24, キ: 6

(4) ク: 3, ケ: 14, コ: 16