与えられた定積分を計算する問題です。積分は $t$ について行われ、積分範囲は $1$ から $x$ です。被積分関数は $\frac{1}{1-e^{-kt}}$ です。また、$x > 1$ かつ $k > 0$ という条件が与えられています。つまり、以下の定積分を求める問題です。 $$ \int_1^x \frac{1}{1 - e^{-kt}} dt $$

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算する問題です。積分は $t$ について行われ、積分範囲は $1$ から $x$ です。被積分関数は $\frac{1}{1-e^{-kt}}$ です。また、$x > 1$ かつ $k > 0$ という条件が与えられています。つまり、以下の定積分を求める問題です。

$$\int_1^x \frac{1}{1 - e^{-kt}} dt$$

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を変形します。

$$\frac{1}{1 - e^{-kt}} = \frac{e^{kt}}{e^{kt} - 1}$$

この積分を計算するために、$u = e^{kt}$ と置換します。すると、$du = k e^{kt} dt$ となり、$dt = \frac{du}{k e^{kt}} = \frac{du}{ku}$となります。

また、$t = 1$ のとき $u = e^k$ であり、$t = x$ のとき $u = e^{kx}$ です。

したがって、積分は以下のようになります。

$$\int_{e^k}^{e^{kx}} \frac{1}{u-1} \frac{du}{k} = \frac{1}{k} \int_{e^k}^{e^{kx}} \frac{1}{u-1} du$$

$\frac{1}{u-1}$ の積分は $\ln |u-1|$ ですから、

$$\frac{1}{k} \int_{e^k}^{e^{kx}} \frac{1}{u-1} du = \frac{1}{k} \left[ \ln |u-1| \right]_{e^k}^{e^{kx}} = \frac{1}{k} \left( \ln |e^{kx} - 1| - \ln |e^k - 1| \right)$$

$k > 0$ と $x > 1$ なので、$e^{kx} > 1$ かつ $e^k > 1$ であるから絶対値を外すことができます。

$$\frac{1}{k} \left( \ln (e^{kx} - 1) - \ln (e^k - 1) \right) = \frac{1}{k} \ln \left( \frac{e^{kx} - 1}{e^k - 1} \right)$$

3. 最終的な答え

$$\frac{1}{k} \ln \left( \frac{e^{kx} - 1}{e^k - 1} \right)$$