与えられた無限級数 $\frac{1}{1\cdot 3} + \frac{1}{3\cdot 5} + \frac{1}{5\cdot 7} + \cdots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} + \cdots$ が収束することを示し、その和を求める。

1. 問題の内容

与えられた無限級数

$\frac{1}{1\cdot 3} + \frac{1}{3\cdot 5} + \frac{1}{5\cdot 7} + \cdots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} + \cdots$

が収束することを示し、その和を求める。

2. 解き方の手順

まず、部分分数分解を適用します。一般項 $\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ は次のように分解できます。

$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{A}{2n-1} + \frac{B}{2n+1}$

両辺に $(2n-1)(2n+1)$ をかけると、

$1 = A(2n+1) + B(2n-1)$

$1 = (2A+2B)n + (A-B)$

これが任意の $n$ について成り立つためには、

$2A+2B=0$ かつ $A-B=1$

$A+B=0$ かつ $A-B=1$

これより、$A = \frac{1}{2}$、$B = -\frac{1}{2}$ である。したがって、

$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right)$

この結果を用いて、部分和 $S_n$ を計算します。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right)$

$S_n = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right) \right]$

この級数は望遠鏡級数（telescoping series）なので、隣り合う項が打ち消し合い、

$S_n = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n+1} \right)$

無限級数の和は、部分和の極限として計算されます。

$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n+1} \right) = \frac{1}{2} (1 - 0) = \frac{1}{2}$

したがって、無限級数は収束し、その和は $\frac{1}{2}$ です。

3. 最終的な答え

無限級数は収束し、その和は $\frac{1}{2}$ である。