$\sqrt{53-2n}$ が整数となるような自然数 $n$ の値をすべて求める問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{53-2n}$ が整数となるような自然数 $n$ の値をすべて求める問題です。

2. 解き方の手順

$\sqrt{53-2n}$ が整数となるためには、$53-2n$ が0以上の平方数である必要があります。つまり、$53-2n = k^2$ となる整数 $k$ が存在する必要があります。ここで、$n$ は自然数なので、$53-2n < 53$ である必要があります。また、$53-2n \geq 0$ でなければなりません。

$53-2n \geq 0$ より、 $2n \leq 53$ つまり、$n \leq \frac{53}{2} = 26.5$ です。$n$ は自然数なので、$1 \leq n \leq 26$ です。

$53-2n = k^2$ となる整数 $k$ を探します。$k$ は0以上の整数です。$k^2$ は $53$ 以下の非負の整数でなければなりません。

$53-2n = k^2$ より、$2n = 53-k^2$ となります。左辺は偶数なので、右辺も偶数でなければなりません。したがって、$53-k^2$ が偶数になるような $k$ を探します。$53$ は奇数なので、$k^2$ が奇数であれば、$53-k^2$ は偶数になります。$k^2$ が奇数であるためには、$k$ が奇数でなければなりません。

したがって、$k = 1, 3, 5, 7$ が考えられます。

- $k=1$ のとき、$2n = 53-1^2 = 52$ より、$n=26$。

- $k=3$ のとき、$2n = 53-3^2 = 53-9 = 44$ より、$n=22$。

- $k=5$ のとき、$2n = 53-5^2 = 53-25 = 28$ より、$n=14$。

- $k=7$ のとき、$2n = 53-7^2 = 53-49 = 4$ より、$n=2$。

3. 最終的な答え

$n = 2, 14, 22, 26$