与えられた無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{6^n + 2^n}{8^n}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{6^n + 2^n}{8^n}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた級数を2つの級数に分割します。

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{6^n + 2^n}{8^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{6^n}{8^n} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{8^n}$

次に、それぞれの級数を計算します。

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{6^n}{8^n} = \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{6}{8})^n = \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{3}{4})^n$

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{8^n} = \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{2}{8})^n = \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{4})^n$

これらの級数は等比級数であり、一般に$\sum_{n=1}^{\infty} r^n = \frac{r}{1-r}$ ($|r| < 1$)となります。

したがって、

$\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{3}{4})^n = \frac{\frac{3}{4}}{1-\frac{3}{4}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{4}} = 3$

$\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{4})^n = \frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{3}$

これらの結果を足し合わせることで、元の級数の値を求めます。

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{6^n + 2^n}{8^n} = 3 + \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{10}{3}$