$\lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{\tan 4x}$ を計算します。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{\tan 4x}$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ なので、与えられた式は

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{\tan 4x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x / \cos 3x}{\sin 4x / \cos 4x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 4x} \cdot \frac{\cos 4x}{\cos 3x}$

と書き換えられます。

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ であることを利用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 4x} \cdot \frac{\cos 4x}{\cos 3x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{4x}{\sin 4x} \cdot \frac{3x}{4x} \cdot \frac{\cos 4x}{\cos 3x}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{4x}{\sin 4x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{3x}{4x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\cos 4x}{\cos 3x}$

$= 1 \cdot 1 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{1} = \frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{4}$