与えられた等差数列の一般項を求め、初項から第10項までの和を求める問題です。等差数列は以下の2つです。 (1) -3, 1, 5, 9, ... (2) 3, 12/5, 9/5, 6/5, ...

1. 問題の内容

与えられた等差数列の一般項を求め、初項から第10項までの和を求める問題です。等差数列は以下の2つです。

(1) -3, 1, 5, 9, ...

(2) 3, 12/5, 9/5, 6/5, ...

2. 解き方の手順

(1)

初項 $a_1 = -3$、公差 $d = 1 - (-3) = 4$ です。

一般項 $a_n$ は $a_n = a_1 + (n-1)d$ で求められます。

$a_n = -3 + (n-1)4 = -3 + 4n - 4 = 4n - 7$

初項から第10項までの和 $S_{10}$ は $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ または $S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$ で求められます。

$S_{10} = \frac{10}{2}(2(-3) + (10-1)4) = 5(-6 + 36) = 5(30) = 150$

(2)

初項 $a_1 = 3$、公差 $d = \frac{12}{5} - 3 = \frac{12}{5} - \frac{15}{5} = -\frac{3}{5}$ です。

一般項 $a_n$ は $a_n = a_1 + (n-1)d$ で求められます。

$a_n = 3 + (n-1)(-\frac{3}{5}) = 3 - \frac{3}{5}n + \frac{3}{5} = \frac{15}{5} + \frac{3}{5} - \frac{3}{5}n = \frac{18}{5} - \frac{3}{5}n$

初項から第10項までの和 $S_{10}$ は $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ または $S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$ で求められます。

$S_{10} = \frac{10}{2}(2(3) + (10-1)(-\frac{3}{5})) = 5(6 + 9(-\frac{3}{5})) = 5(6 - \frac{27}{5}) = 5(\frac{30}{5} - \frac{27}{5}) = 5(\frac{3}{5}) = 3$

3. 最終的な答え

(1)

一般項: $a_n = 4n - 7$

初項から第10項までの和: $S_{10} = 150$

(2)

一般項: $a_n = \frac{18}{5} - \frac{3}{5}n$

初項から第10項までの和: $S_{10} = 3$