数列の和 $S_n = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + \cdots + n \cdot 3^{n-1}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列の和 $S_n = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + \cdots + n \cdot 3^{n-1}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

この問題は、等差数列と等比数列の積の和を求める問題です。このような問題では、和 $S_n$ を求めた後、$3S_n$ を計算し、$S_n - 3S_n$ を計算することで、数列の規則性を見つけます。

まず、$S_n$ を書きます。

$S_n = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + \cdots + n \cdot 3^{n-1}$

次に、$3S_n$ を計算します。

$3S_n = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3^3 + \cdots + (n-1) \cdot 3^{n-1} + n \cdot 3^n$

$S_n - 3S_n$ を計算します。

$S_n - 3S_n = (1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + \cdots + n \cdot 3^{n-1}) - (1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3^3 + \cdots + (n-1) \cdot 3^{n-1} + n \cdot 3^n)$

$S_n - 3S_n = 1 + (2-1) \cdot 3 + (3-2) \cdot 3^2 + \cdots + (n-(n-1)) \cdot 3^{n-1} - n \cdot 3^n$

$-2S_n = 1 + 3 + 3^2 + \cdots + 3^{n-1} - n \cdot 3^n$

$1 + 3 + 3^2 + \cdots + 3^{n-1}$ は初項1、公比3の等比数列の和なので、

$1 + 3 + 3^2 + \cdots + 3^{n-1} = \frac{1(3^n - 1)}{3-1} = \frac{3^n - 1}{2}$

したがって、

$-2S_n = \frac{3^n - 1}{2} - n \cdot 3^n$

$-2S_n = \frac{3^n - 1 - 2n \cdot 3^n}{2}$

$-4S_n = 3^n - 1 - 2n \cdot 3^n$

$4S_n = -3^n + 1 + 2n \cdot 3^n$

$S_n = \frac{(2n-1)3^n + 1}{4}$

3. 最終的な答え

$S_n = \frac{(2n-1)3^n + 1}{4}$