与えられた式 $x^2 + (2y+1)x + (y+2)(y-1)$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + (2y+1)x + (y+2)(y-1)$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、定数項 $(y+2)(y-1)$ を展開します。

$(y+2)(y-1) = y^2 - y + 2y - 2 = y^2 + y - 2$

次に、与えられた式を書き換えます。

$x^2 + (2y+1)x + (y^2 + y - 2)$

ここで、因数分解できると仮定して、$(x+A)(x+B)$ の形になることを目指します。

このとき、$A+B = 2y+1$ かつ $AB = y^2 + y - 2$ となる $A$ と $B$ を見つける必要があります。

$y^2 + y - 2$ を因数分解すると、$(y+2)(y-1)$ となります。

$A = y+2$、$B = y-1$ とすると、

$A+B = (y+2) + (y-1) = 2y+1$

$AB = (y+2)(y-1) = y^2 + y - 2$

となるので、$A$ と $B$ の条件を満たします。

したがって、$x^2 + (2y+1)x + (y^2 + y - 2)$ は $(x+y+2)(x+y-1)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(x+y+2)(x+y-1)$