数列 $\{a_n\}$ があり、$a_1 = 1$, $a_{n+1} = -a_n + 6$ ($n=1, 2, 3, \dots$) を満たしている。数列 $\{b_n\}$ があり、数列 $\{b_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とするとき、$S_n = 2n^2 + 5n$ ($n=1, 2, 3, \dots$) が成り立つ。 (1) $a_3$ の値を求めよ。また、$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5$ の値を求めよ。 (2) $b_n$ を $n$ を用いて表せ。 (3) $b_{2m-1}, b_{2m}$ ($m=1, 2, 3, \dots$) をそれぞれ $m$ を用いて表せ。また、$\sum_{k=1}^{2n} a_k b_k$ を $n$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ があり、$a_1 = 1$, $a_{n+1} = -a_n + 6$ ($n=1, 2, 3, \dots$) を満たしている。数列 $\{b_n\}$ があり、数列 $\{b_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とするとき、$S_n = 2n^2 + 5n$ ($n=1, 2, 3, \dots$) が成り立つ。

(1) $a_3$ の値を求めよ。また、$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5$ の値を求めよ。

(2) $b_n$ を $n$ を用いて表せ。

(3) $b_{2m-1}, b_{2m}$ ($m=1, 2, 3, \dots$) をそれぞれ $m$ を用いて表せ。また、$\sum_{k=1}^{2n} a_k b_k$ を $n$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) $a_{n+1} = -a_n + 6$ より、

$a_2 = -a_1 + 6 = -1 + 6 = 5$

$a_3 = -a_2 + 6 = -5 + 6 = 1$

$a_4 = -a_3 + 6 = -1 + 6 = 5$

$a_5 = -a_4 + 6 = -5 + 6 = 1$

よって、

$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 1 + 5 + 1 + 5 + 1 = 13$

(2) $S_n = 2n^2 + 5n$ より、

$b_n = S_n - S_{n-1}$ ($n \geq 2$)

$b_n = (2n^2 + 5n) - (2(n-1)^2 + 5(n-1)) = (2n^2 + 5n) - (2(n^2 - 2n + 1) + 5n - 5) = (2n^2 + 5n) - (2n^2 - 4n + 2 + 5n - 5) = 2n^2 + 5n - 2n^2 + 4n - 2 - 5n + 5 = 4n + 3$

$b_1 = S_1 = 2(1)^2 + 5(1) = 2 + 5 = 7$

$4(1) + 3 = 7$ であるから、$b_n = 4n + 3$ は $n=1$ でも成り立つ。

したがって、$b_n = 4n + 3$ ($n \geq 1$)

(3)

$b_{2m-1} = 4(2m-1) + 3 = 8m - 4 + 3 = 8m - 1$

$b_{2m} = 4(2m) + 3 = 8m + 3$

$a_1 = 1, a_2 = 5, a_3 = 1, a_4 = 5, a_5 = 1, a_6 = 5, \dots$

$a_{2k-1} = 1, a_{2k} = 5$

$\sum_{k=1}^{2n} a_k b_k = \sum_{k=1}^{n} (a_{2k-1}b_{2k-1} + a_{2k}b_{2k}) = \sum_{k=1}^{n} (1(8k-1) + 5(8k+3)) = \sum_{k=1}^{n} (8k-1 + 40k + 15) = \sum_{k=1}^{n} (48k + 14) = 48 \sum_{k=1}^{n} k + 14 \sum_{k=1}^{n} 1 = 48 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + 14n = 24n(n+1) + 14n = 24n^2 + 24n + 14n = 24n^2 + 38n$

3. 最終的な答え

(1) $a_3 = 1$, $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 13$

(2) $b_n = 4n + 3$

(3) $b_{2m-1} = 8m - 1$, $b_{2m} = 8m + 3$, $\sum_{k=1}^{2n} a_k b_k = 24n^2 + 38n$