$\sqrt{2}$が無理数であることを利用して、$3\sqrt{2}$が無理数であることを背理法で証明する問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{2}$が無理数であることを利用して、$3\sqrt{2}$が無理数であることを背理法で証明する問題です。

2. 解き方の手順

背理法を用いるため、$3\sqrt{2}$が無理数でないと仮定します。無理数でないということは、$3\sqrt{2}$は有理数であるということです。よって、「カ」には「有理数」が入ります。

$3\sqrt{2} = r$とおくと、両辺を3で割って、

$\sqrt{2} = \frac{r}{3}$となります。よって、「キ」には$\frac{r}{3}$が入ります。

$r$が有理数であるから、$\frac{r}{3}$も有理数です。したがって、$\sqrt{2}$が有理数となり、$\sqrt{2}$が無理数であることに矛盾します。よって、「ク」には「有理数」が入ります。

3. 最終的な答え

カ：有理数

キ：$\frac{r}{3}$

ク：有理数