次の和 $S$ を求める問題です。 $S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + 4 \cdot 3^3 + \dots + n \cdot 3^{n-1}$

1. 問題の内容

次の和 $S$ を求める問題です。

$S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + 4 \cdot 3^3 + \dots + n \cdot 3^{n-1}$

2. 解き方の手順

まず、$S$ を書き下します。

$S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + 4 \cdot 3^3 + \dots + n \cdot 3^{n-1}$

次に、$3S$ を書き下します。

$3S = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3^3 + \dots + (n-1) \cdot 3^{n-1} + n \cdot 3^n$

$S - 3S$ を計算します。

$-2S = 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^{n-1} - n \cdot 3^n$

$1 + 3 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^{n-1}$ は初項1、公比3、項数nの等比数列の和なので、

$1 + 3 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^{n-1} = \frac{1 \cdot (3^n - 1)}{3-1} = \frac{3^n - 1}{2}$

したがって、

$-2S = \frac{3^n - 1}{2} - n \cdot 3^n$

$S = -\frac{1}{2} \left( \frac{3^n - 1}{2} - n \cdot 3^n \right)$

$S = -\frac{1}{4} (3^n - 1 - 2n \cdot 3^n)$

$S = \frac{2n \cdot 3^n - 3^n + 1}{4}$

$S = \frac{(2n - 1)3^n + 1}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{(2n-1)3^n + 1}{4}$