一次関数 $f(x) = ax + b$ が与えられた条件を満たすとき、定数 $a$ と $b$ の値を求める問題です。4つの条件が与えられています。

1. 問題の内容

一次関数 $f(x) = ax + b$ が与えられた条件を満たすとき、定数 $a$ と $b$ の値を求める問題です。4つの条件が与えられています。

2. 解き方の手順

それぞれの条件について、連立方程式を立てて解きます。

(1) $f(1) = -2$ と $f(3) = 4$ を用いる。

$f(1) = a(1) + b = a + b = -2$

$f(3) = a(3) + b = 3a + b = 4$

2つの式を連立させて解く。

$3a + b = 4$

$a + b = -2$

上の式から下の式を引くと、$2a = 6$ より $a = 3$。

$a + b = -2$ に $a = 3$ を代入すると、$3 + b = -2$ より $b = -5$。

(2) $f(2) = 2$ と $f(-4) = 14$ を用いる。

$f(2) = a(2) + b = 2a + b = 2$

$f(-4) = a(-4) + b = -4a + b = 14$

2つの式を連立させて解く。

$-4a + b = 14$

$2a + b = 2$

上の式から下の式を引くと、$-6a = 12$ より $a = -2$。

$2a + b = 2$ に $a = -2$ を代入すると、$2(-2) + b = 2$ より $-4 + b = 2$ より $b = 6$。

(3) $f(-3) = -\frac{1}{4}$ と $f(-1) = \frac{5}{4}$ を用いる。

$f(-3) = a(-3) + b = -3a + b = -\frac{1}{4}$

$f(-1) = a(-1) + b = -a + b = \frac{5}{4}$

2つの式を連立させて解く。

$-a + b = \frac{5}{4}$

$-3a + b = -\frac{1}{4}$

上の式から下の式を引くと、$2a = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ より $a = \frac{3}{4}$。

$-a + b = \frac{5}{4}$ に $a = \frac{3}{4}$ を代入すると、$-\frac{3}{4} + b = \frac{5}{4}$ より $b = \frac{8}{4} = 2$。

(4) $f(-2) = -\frac{5}{2}$ と $f(-3) = -2$ を用いる。

$f(-2) = a(-2) + b = -2a + b = -\frac{5}{2}$

$f(-3) = a(-3) + b = -3a + b = -2$

2つの式を連立させて解く。

$-2a + b = -\frac{5}{2}$

$-3a + b = -2$

上の式から下の式を引くと、$a = -\frac{5}{2} + 2 = -\frac{1}{2}$。

$-2a + b = -\frac{5}{2}$ に $a = -\frac{1}{2}$ を代入すると、$-2(-\frac{1}{2}) + b = -\frac{5}{2}$ より $1 + b = -\frac{5}{2}$ より $b = -\frac{7}{2}$。

3. 最終的な答え

(1) $a = 3$, $b = -5$

(2) $a = -2$, $b = 6$

(3) $a = \frac{3}{4}$, $b = 2$

(4) $a = -\frac{1}{2}$, $b = -\frac{7}{2}$