関数 $y = 2x^2 - 8x + 5$ の $0 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = 2x^2 - 8x + 5$ の $0 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

与えられた関数を平方完成します。

\begin{align*}

y &= 2x^2 - 8x + 5 \\

&= 2(x^2 - 4x) + 5 \\

&= 2(x^2 - 4x + 4 - 4) + 5 \\

&= 2((x-2)^2 - 4) + 5 \\

&= 2(x-2)^2 - 8 + 5 \\

&= 2(x-2)^2 - 3

\end{align*}

したがって、頂点の座標は $(2, -3)$ です。

定義域は $0 \le x \le 3$ なので、$x = 0, 2, 3$ での $y$ の値を調べます。

$x = 0$ のとき、$y = 2(0)^2 - 8(0) + 5 = 5$

$x = 2$ のとき、$y = 2(2)^2 - 8(2) + 5 = 8 - 16 + 5 = -3$

$x = 3$ のとき、$y = 2(3)^2 - 8(3) + 5 = 18 - 24 + 5 = -1$

したがって、$0 \le x \le 3$ における最大値は $x = 0$ のときの $5$ であり、最小値は $x = 2$ のときの $-3$ です。

3. 最終的な答え

最大値: 5

最小値: -3