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与えられた分数の分母を有理化する問題です。 与えられた分数は $\frac{2}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}$ です。

代数学分母の有理化平方根代数計算
2025/6/29

1. 問題の内容

与えられた分数の分母を有理化する問題です。
与えられた分数は 22+3\frac{2}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} です。

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、分母の共役な複素数 2−3\sqrt{2} - \sqrt{3} を分母と分子に掛けます。
22+3=2(2−3)(2+3)(2−3)\frac{2}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{2} - \sqrt{3})}{(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3})}
分母は (2+3)(2−3)=(2)2−(3)2=2−3=−1(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3}) = (\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2 = 2 - 3 = -1 となります。
分子は 2(2−3)=22−232(\sqrt{2} - \sqrt{3}) = 2\sqrt{2} - 2\sqrt{3} となります。
したがって、
2(2−3)(2+3)(2−3)=22−23−1=−22+23=23−22\frac{2(\sqrt{2} - \sqrt{3})}{(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3})} = \frac{2\sqrt{2} - 2\sqrt{3}}{-1} = -2\sqrt{2} + 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2}

3. 最終的な答え

23−222\sqrt{3} - 2\sqrt{2}

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