与えられた10個の式を、乗法公式を用いて展開する問題です。 (1) $(x+2)(x+4)$ (2) $(x-3y)(x-4y)$ (3) $(a^2-3)(a^2+7)$ (4) $(4x+3)(3x+1)$ (5) $(3x-2y)(2x-3y)$ (6) $(3x+4)^2$ (7) $(5x-3y)^2$ (8) $(x^2+x)^2$ (9) $(5a-8b)(5a+8b)$ (10) $(4x-y)(y+4x)$

1. 問題の内容

与えられた10個の式を、乗法公式を用いて展開する問題です。

(1) $(x+2)(x+4)$

(2) $(x-3y)(x-4y)$

(3) $(a^2-3)(a^2+7)$

(4) $(4x+3)(3x+1)$

(5) $(3x-2y)(2x-3y)$

(6) $(3x+4)^2$

(7) $(5x-3y)^2$

(8) $(x^2+x)^2$

(9) $(5a-8b)(5a+8b)$

(10) $(4x-y)(y+4x)$

2. 解き方の手順

各問題を、乗法公式（展開公式）を用いて展開します。

(1) $(x+2)(x+4)$

これは $(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$ の公式を利用します。

$x^2 + (2+4)x + 2 \cdot 4 = x^2 + 6x + 8$

(2) $(x-3y)(x-4y)$

これも $(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$ の公式を利用します。

$x^2 + (-3y-4y)x + (-3y)(-4y) = x^2 -7xy + 12y^2$

(3) $(a^2-3)(a^2+7)$

これも $(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$ の公式を利用します。ただし、$x = a^2$ と置き換えます。

$(a^2)^2 + (-3+7)a^2 + (-3)(7) = a^4 + 4a^2 - 21$

(4) $(4x+3)(3x+1)$

これは $(ax+b)(cx+d) = acx^2 + (ad+bc)x + bd$ の公式を利用します。

$(4 \cdot 3)x^2 + (4 \cdot 1 + 3 \cdot 3)x + (3 \cdot 1) = 12x^2 + (4+9)x + 3 = 12x^2 + 13x + 3$

(5) $(3x-2y)(2x-3y)$

これも $(ax+b)(cx+d) = acx^2 + (ad+bc)x + bd$ の公式を利用します。

$(3 \cdot 2)x^2 + (3 \cdot (-3y) + (-2y) \cdot 2)x + (-2y)(-3y) = 6x^2 + (-9y - 4y)x + 6y^2 = 6x^2 - 13xy + 6y^2$

(6) $(3x+4)^2$

これは $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ の公式を利用します。

$(3x)^2 + 2(3x)(4) + 4^2 = 9x^2 + 24x + 16$

(7) $(5x-3y)^2$

これは $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ の公式を利用します。

$(5x)^2 - 2(5x)(3y) + (3y)^2 = 25x^2 - 30xy + 9y^2$

(8) $(x^2+x)^2$

これも $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ の公式を利用します。

$(x^2)^2 + 2(x^2)(x) + x^2 = x^4 + 2x^3 + x^2$

(9) $(5a-8b)(5a+8b)$

これは $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ の公式を利用します。

$(5a)^2 - (8b)^2 = 25a^2 - 64b^2$

(10) $(4x-y)(y+4x)$

これは $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ の公式を利用します。 ただし、$(4x-y)(4x+y)$ と順番を入れ替えます。

$(4x)^2 - (y)^2 = 16x^2 - y^2$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + 6x + 8$

(2) $x^2 -7xy + 12y^2$

(3) $a^4 + 4a^2 - 21$

(4) $12x^2 + 13x + 3$

(5) $6x^2 - 13xy + 6y^2$

(6) $9x^2 + 24x + 16$

(7) $25x^2 - 30xy + 9y^2$

(8) $x^4 + 2x^3 + x^2$

(9) $25a^2 - 64b^2$

(10) $16x^2 - y^2$