等比数列をなす3つの数があり、それらの和が26、それぞれの数の平方の和が364である。このとき、この等比数列を求めよ。

1. 問題の内容

等比数列をなす3つの数があり、それらの和が26、それぞれの数の平方の和が364である。このとき、この等比数列を求めよ。

2. 解き方の手順

3つの数を、$a/r$, $a$, $ar$ とおく。ここで、$a$ は中央の数、$r$ は公比である。

問題文より、

$a/r + a + ar = 26$ ...(1)

$(a/r)^2 + a^2 + (ar)^2 = 364$ ...(2)

(1)式より、$a(1/r + 1 + r) = 26$ である。

両辺を $a$ で割ると $1/r + 1 + r = 26/a$ となる。

(1)式を変形して $a(1 + r + 1/r) = 26$ から、$1 + r + 1/r = 26/a$ を得る。

(2)式より、 $a^2/r^2 + a^2 + a^2r^2 = 364$

$a^2(1/r^2 + 1 + r^2) = 364$ ...(3)

(1)式を2乗すると:

$(a/r + a + ar)^2 = 26^2 = 676$

$(a/r)^2 + a^2 + (ar)^2 + 2(a^2/r + a^2r + a^2) = 676$

$a^2/r^2 + a^2 + a^2r^2 + 2a^2(1/r + r + 1) = 676$

(2)式を使うと

$364 + 2a^2(1/r + r + 1) = 676$

$2a^2(1/r + r + 1) = 676 - 364 = 312$

$a^2(1/r + r + 1) = 156$

(1)式から $a(1/r + r + 1) = 26$ なので、$1/r + r + 1 = 26/a$

$a^2(26/a) = 156$

$26a = 156$

$a = 156/26 = 6$

$a=6$を(1)式に代入すると

$6/r + 6 + 6r = 26$

$6/r + 6r = 20$

両辺に$r$をかけると

$6 + 6r^2 = 20r$

$6r^2 - 20r + 6 = 0$

$3r^2 - 10r + 3 = 0$

$(3r - 1)(r - 3) = 0$

$r = 1/3$ or $r = 3$

$a = 6, r = 3$ のとき、数列は $6/3, 6, 6*3$ すなわち $2, 6, 18$.

$a = 6, r = 1/3$ のとき、数列は $6/(1/3), 6, 6*(1/3)$ すなわち $18, 6, 2$.

3. 最終的な答え

2, 6, 18 または 18, 6, 2