画像に示された2つの代数方程式を解きます。 (1) $x^4 + x^2 - 2 = 0$ (2) $2x^3 - 7x^2 + 4x + 4 = 0$

1. 問題の内容

画像に示された2つの代数方程式を解きます。

(1) $x^4 + x^2 - 2 = 0$

(2) $2x^3 - 7x^2 + 4x + 4 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^4 + x^2 - 2 = 0$ の解法：

この方程式は、$x^2$ に関する二次方程式と見なすことができます。

$y = x^2$ とおくと、方程式は $y^2 + y - 2 = 0$ となります。

この二次方程式を因数分解すると、$(y + 2)(y - 1) = 0$ となります。

したがって、$y = -2$ または $y = 1$ となります。

$y = x^2$ なので、$x^2 = -2$ または $x^2 = 1$ となります。

$x^2 = -2$ の場合、$x = \pm \sqrt{-2} = \pm i\sqrt{2}$ となります。

$x^2 = 1$ の場合、$x = \pm \sqrt{1} = \pm 1$ となります。

(2) $2x^3 - 7x^2 + 4x + 4 = 0$ の解法：

この3次方程式を解くには、まず有理根定理を試してみます。

方程式の係数は整数なので、有理根は $\frac{p}{q}$ の形をしており、$p$ は定数項（4）の約数、$q$ は最高次の係数（2）の約数です。

つまり、可能な有理根は $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm \frac{1}{2}$ です。

$x = 2$ を代入すると、$2(2)^3 - 7(2)^2 + 4(2) + 4 = 16 - 28 + 8 + 4 = 0$ となり、$x = 2$ が方程式の根であることがわかります。

したがって、$(x - 2)$ は $2x^3 - 7x^2 + 4x + 4$ の因数です。

多項式除算または組み立て除法を用いて、$2x^3 - 7x^2 + 4x + 4$ を $(x - 2)$ で割ります。

$2x^3 - 7x^2 + 4x + 4 = (x - 2)(2x^2 - 3x - 2)$

ここで、二次式 $2x^2 - 3x - 2$ を因数分解します。

$2x^2 - 3x - 2 = (2x + 1)(x - 2)$

したがって、$2x^3 - 7x^2 + 4x + 4 = (x - 2)(2x + 1)(x - 2) = (x - 2)^2 (2x + 1)$

したがって、方程式の根は $x = 2$ (重根) および $x = -\frac{1}{2}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $x = 1, -1, i\sqrt{2}, -i\sqrt{2}$

(2) $x = 2, 2, -\frac{1}{2}$

あるいは

(1) $x = \pm 1, \pm i\sqrt{2}$

(2) $x = 2$ (重根), $-\frac{1}{2}$