与えられた対数の式を簡単にせよという問題です。具体的には、 $log_{2}9 \cdot log_{3}5 \cdot log_{25}8$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた対数の式を簡単にせよという問題です。具体的には、

$log_{2}9 \cdot log_{3}5 \cdot log_{25}8$

を計算します。

2. 解き方の手順

対数の底の変換公式を用いて、全ての対数の底を揃えます。底の変換公式は、

$log_{a}b = \frac{log_{c}b}{log_{c}a}$

です。今回は底を10に変換することにします。すると、

$log_{2}9 = \frac{log_{10}9}{log_{10}2}$

$log_{3}5 = \frac{log_{10}5}{log_{10}3}$

$log_{25}8 = \frac{log_{10}8}{log_{10}25}$

となります。したがって、

$log_{2}9 \cdot log_{3}5 \cdot log_{25}8 = \frac{log_{10}9}{log_{10}2} \cdot \frac{log_{10}5}{log_{10}3} \cdot \frac{log_{10}8}{log_{10}25}$

となります。

ここで、$9 = 3^2$, $8 = 2^3$, $25 = 5^2$ であることを利用すると、

$log_{10}9 = log_{10}3^2 = 2log_{10}3$

$log_{10}8 = log_{10}2^3 = 3log_{10}2$

$log_{10}25 = log_{10}5^2 = 2log_{10}5$

となるので、

$\frac{log_{10}9}{log_{10}2} \cdot \frac{log_{10}5}{log_{10}3} \cdot \frac{log_{10}8}{log_{10}25} = \frac{2log_{10}3}{log_{10}2} \cdot \frac{log_{10}5}{log_{10}3} \cdot \frac{3log_{10}2}{2log_{10}5}$

となります。

これを整理すると、

$\frac{2log_{10}3}{log_{10}2} \cdot \frac{log_{10}5}{log_{10}3} \cdot \frac{3log_{10}2}{2log_{10}5} = \frac{2 \cdot 3 \cdot log_{10}3 \cdot log_{10}5 \cdot log_{10}2}{2 \cdot log_{10}2 \cdot log_{10}3 \cdot log_{10}5}$

となり、約分することで、

$\frac{6}{2} = 3$

となります。

3. 最終的な答え

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