与えられた数列の和を求める問題です。数列は $3 \cdot 2 + 5 \cdot 5 + 7 \cdot 8 + \dots + (2n+1)(3n-1)$ で表されます。

1. 問題の内容

与えられた数列の和を求める問題です。数列は $3 \cdot 2 + 5 \cdot 5 + 7 \cdot 8 + \dots + (2n+1)(3n-1)$ で表されます。

2. 解き方の手順

まず、数列の一般項を $a_k$ とすると、$a_k = (2k+1)(3k-1)$ となります。

次に、数列の和 $S_n$ を $\sum$ を用いて表すと、

$S_n = \sum_{k=1}^n (2k+1)(3k-1)$

となります。

$S_n$ を計算するために、一般項を展開します。

$a_k = (2k+1)(3k-1) = 6k^2 - 2k + 3k - 1 = 6k^2 + k - 1$

したがって、

$S_n = \sum_{k=1}^n (6k^2 + k - 1) = 6 \sum_{k=1}^n k^2 + \sum_{k=1}^n k - \sum_{k=1}^n 1$

$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^n 1 = n$

これらを代入すると、

$S_n = 6 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} - n = n(n+1)(2n+1) + \frac{n(n+1)}{2} - n$

$S_n = n(2n^2 + 3n + 1) + \frac{n^2+n}{2} - n = 2n^3 + 3n^2 + n + \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{2}n - n = 2n^3 + \frac{7}{2}n^2 + \frac{1}{2}n$

$S_n = \frac{4n^3 + 7n^2 + n}{2} = \frac{n(4n^2 + 7n + 1)}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(4n^2+7n+1)}{2}$