与えられた数列の和を求める問題です。数列は、$3 \cdot 2 + 5 \cdot 5 + 7 \cdot 8 + \cdots + (2n+1)(3n-1)$ で表されます。

1. 問題の内容

与えられた数列の和を求める問題です。数列は、$3 \cdot 2 + 5 \cdot 5 + 7 \cdot 8 + \cdots + (2n+1)(3n-1)$ で表されます。

2. 解き方の手順

まず、数列の一般項を求めます。数列の第$k$項は $(2k+1)(3k-1)$ と表せます。したがって、求める和は、

$S_n = \sum_{k=1}^{n} (2k+1)(3k-1)$

となります。この式を展開し、$\sum$の性質を用いて計算します。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} (6k^2 + k - 1)$

$S_n = 6\sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 1$

ここで、次の公式を利用します。

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

これらの公式を代入すると、

$S_n = 6 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} - n$

$S_n = n(n+1)(2n+1) + \frac{n(n+1)}{2} - n$

$S_n = n( (n+1)(2n+1) + \frac{n+1}{2} - 1 )$

$S_n = n( 2n^2 + 3n + 1 + \frac{n+1}{2} - 1 )$

$S_n = n( 2n^2 + 3n + \frac{n+1}{2} )$

$S_n = n( \frac{4n^2 + 6n + n + 1}{2} )$

$S_n = n( \frac{4n^2 + 7n + 1}{2} )$

$S_n = \frac{4n^3 + 7n^2 + n}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{4n^3 + 7n^2 + n}{2}$