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加法定理を用いて、以下の等式が成り立つことを確認する問題です。 (1) $\sin(\pi - \theta) = \sin\theta$ $\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta$ $\tan(\pi - \theta) = -\tan\theta$ (2) $\sin(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cos\theta$ $\cos(\frac{\pi}{2} - \theta) = \sin\theta$ $\tan(\frac{\pi}{2} - \theta) = \frac{1}{\tan\theta}$

代数学三角関数加法定理三角関数の公式
2025/6/29

1. 問題の内容

加法定理を用いて、以下の等式が成り立つことを確認する問題です。
(1)
sin⁡(π−θ)=sin⁡θ\sin(\pi - \theta) = \sin\theta
cos⁡(π−θ)=−cos⁡θ\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta
tan⁡(π−θ)=−tan⁡θ\tan(\pi - \theta) = -\tan\theta
(2)
sin⁡(π2−θ)=cos⁡θ\sin(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cos\theta
cos⁡(π2−θ)=sin⁡θ\cos(\frac{\pi}{2} - \theta) = \sin\theta
tan⁡(π2−θ)=1tan⁡θ\tan(\frac{\pi}{2} - \theta) = \frac{1}{\tan\theta}

2. 解き方の手順

(1)
* sin⁡(π−θ)\sin(\pi - \theta)について、加法定理 sin⁡(A−B)=sin⁡Acos⁡B−cos⁡Asin⁡B\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B を用いると、
sin⁡(π−θ)=sin⁡πcos⁡θ−cos⁡πsin⁡θ=0⋅cos⁡θ−(−1)⋅sin⁡θ=sin⁡θ\sin(\pi - \theta) = \sin\pi \cos\theta - \cos\pi \sin\theta = 0 \cdot \cos\theta - (-1) \cdot \sin\theta = \sin\theta
* cos⁡(π−θ)\cos(\pi - \theta)について、加法定理 cos⁡(A−B)=cos⁡Acos⁡B+sin⁡Asin⁡B\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B を用いると、
cos⁡(π−θ)=cos⁡πcos⁡θ+sin⁡πsin⁡θ=(−1)⋅cos⁡θ+0⋅sin⁡θ=−cos⁡θ\cos(\pi - \theta) = \cos\pi \cos\theta + \sin\pi \sin\theta = (-1) \cdot \cos\theta + 0 \cdot \sin\theta = -\cos\theta
* tan⁡(π−θ)\tan(\pi - \theta)について、tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} であることと、上記の結果を用いると、
tan⁡(π−θ)=sin⁡(π−θ)cos⁡(π−θ)=sin⁡θ−cos⁡θ=−tan⁡θ\tan(\pi - \theta) = \frac{\sin(\pi - \theta)}{\cos(\pi - \theta)} = \frac{\sin\theta}{-\cos\theta} = -\tan\theta
(2)
* sin⁡(π2−θ)\sin(\frac{\pi}{2} - \theta)について、加法定理 sin⁡(A−B)=sin⁡Acos⁡B−cos⁡Asin⁡B\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B を用いると、
sin⁡(π2−θ)=sin⁡π2cos⁡θ−cos⁡π2sin⁡θ=1⋅cos⁡θ−0⋅sin⁡θ=cos⁡θ\sin(\frac{\pi}{2} - \theta) = \sin\frac{\pi}{2} \cos\theta - \cos\frac{\pi}{2} \sin\theta = 1 \cdot \cos\theta - 0 \cdot \sin\theta = \cos\theta
* cos⁡(π2−θ)\cos(\frac{\pi}{2} - \theta)について、加法定理 cos⁡(A−B)=cos⁡Acos⁡B+sin⁡Asin⁡B\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B を用いると、
cos⁡(π2−θ)=cos⁡π2cos⁡θ+sin⁡π2sin⁡θ=0⋅cos⁡θ+1⋅sin⁡θ=sin⁡θ\cos(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cos\frac{\pi}{2} \cos\theta + \sin\frac{\pi}{2} \sin\theta = 0 \cdot \cos\theta + 1 \cdot \sin\theta = \sin\theta
* tan⁡(π2−θ)\tan(\frac{\pi}{2} - \theta)について、tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} であることと、上記の結果を用いると、
tan⁡(π2−θ)=sin⁡(π2−θ)cos⁡(π2−θ)=cos⁡θsin⁡θ=1sin⁡θcos⁡θ=1tan⁡θ\tan(\frac{\pi}{2} - \theta) = \frac{\sin(\frac{\pi}{2} - \theta)}{\cos(\frac{\pi}{2} - \theta)} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{1}{\frac{\sin\theta}{\cos\theta}} = \frac{1}{\tan\theta}

3. 最終的な答え

(1)
sin⁡(π−θ)=sin⁡θ\sin(\pi - \theta) = \sin\theta
cos⁡(π−θ)=−cos⁡θ\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta
tan⁡(π−θ)=−tan⁡θ\tan(\pi - \theta) = -\tan\theta
(2)
sin⁡(π2−θ)=cos⁡θ\sin(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cos\theta
cos⁡(π2−θ)=sin⁡θ\cos(\frac{\pi}{2} - \theta) = \sin\theta
tan⁡(π2−θ)=1tan⁡θ\tan(\frac{\pi}{2} - \theta) = \frac{1}{\tan\theta}

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