与えられた群数列について、以下の3つの問いに答える問題です。 (1) 第 $m$ 群の最初の項を $m$ を用いて表す。 (2) 第 $m$ 群の項の和を $m$ を用いて表す。 (3) 1111が第何群の何番目の数か答える。

1. 問題の内容

与えられた群数列について、以下の3つの問いに答える問題です。

(1) 第 $m$ 群の最初の項を $m$ を用いて表す。

(2) 第 $m$ 群の項の和を $m$ を用いて表す。

(3) 1111が第何群の何番目の数か答える。

2. 解き方の手順

(1) 第 $m$ 群の最初の項を求める。

各群の項数は、順に$2, 4, 6, \dots, 2m$と増えていく。

第 $m-1$ 群までの項数の合計は、

$2 + 4 + 6 + \dots + 2(m-1) = 2(1 + 2 + 3 + \dots + (m-1)) = 2\cdot\frac{(m-1)m}{2} = m(m-1) = m^2 - m$

したがって、第$m$群の最初の項は、数列全体の $(m^2-m+1)$ 番目の奇数である。

奇数列の一般項は $2n-1$ であるから、第 $m$ 群の最初の項は $2(m^2-m+1) - 1 = 2m^2 - 2m + 2 - 1 = 2m^2 - 2m + 1$

(2) 第 $m$ 群の項の和を求める。

第 $m$ 群は $2m$ 個の項からなり、最初の項は $2m^2 - 2m + 1$ である。

奇数列であるから、公差は2である。

したがって、第 $m$ 群の和は、

$\frac{2m}{2}(2(2m^2-2m+1) + (2m-1)2) = m(4m^2 - 4m + 2 + 4m - 2) = m(4m^2) = 4m^3$

(3) 1111が第何群の何番目の数かを求める。

まず、1111が数列全体の何番目の数かを確認する。

1111 = 2n - 1 より、2n = 1112, n = 556

つまり、1111は数列全体の556番目の数である。

次に、第 $n$ 群までの項数の合計が556以下となるような最大の $n$ を探す。

第 $n$ 群までの項数の合計は $n(n+1)$ である。

$n(n+1) \le 556$ となる最大の $n$ を探す。

$n=23$ のとき $23 \cdot 24 = 552$

$n=24$ のとき $24 \cdot 25 = 600$

したがって、1111は第24群にある。

1111は第24群の何番目か。

556 - 552 = 4

したがって、1111は第24群の4番目の数である。

3. 最終的な答え

(1) $2m^2 - 2m + 1$

(2) $4m^3$

(3) 第24群の4番目