関数 $y = x^2 - 2x + 6$ の、$a \le x \le a+2$ における最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 - 2x + 6$ の、$a \le x \le a+2$ における最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2x + 6 = (x - 1)^2 - 1 + 6 = (x - 1)^2 + 5$

この式から、グラフは下に凸の放物線で、頂点の座標が $(1, 5)$ であることがわかります。

次に、定義域 $a \le x \le a+2$ と頂点の $x$ 座標 $1$ の位置関係によって場合分けをします。

(i) $a + 2 < 1$ つまり $a < -1$ のとき

定義域は頂点よりも右側にあり、 $x = a+2$ で最小値をとります。

最小値は $y = (a + 2 - 1)^2 + 5 = (a + 1)^2 + 5 = a^2 + 2a + 1 + 5 = a^2 + 2a + 6$

(ii) $a \le 1 \le a + 2$ つまり $-1 \le a \le 1$ のとき

頂点が定義域に含まれるので、 $x = 1$ で最小値をとります。

最小値は $y = (1 - 1)^2 + 5 = 5$

(iii) $1 < a$ のとき

定義域は頂点よりも左側にあり、$x = a$ で最小値をとります。

最小値は $y = (a - 1)^2 + 5 = a^2 - 2a + 1 + 5 = a^2 - 2a + 6$

まとめると、

- $a < -1$ のとき、最小値は $a^2 + 2a + 6$

- $-1 \le a \le 1$ のとき、最小値は $5$

- $1 < a$ のとき、最小値は $a^2 - 2a + 6$

3. 最終的な答え

- $a < -1$ のとき、最小値は $a^2 + 2a + 6$

- $-1 \le a \le 1$ のとき、最小値は $5$

- $1 < a$ のとき、最小値は $a^2 - 2a + 6$