(2) 等比数列 $f_n = r^n f$ において、「ファ#」の振動数（周波数）を $f$ を用いて表す。 (3) 「ド」から「レ」までの振動数の和が800、「ド」から「ファ」までの振動数の和が1800であるとき、「ド」から「ソ#」までの振動数の和を求める。 (4) 「ド」から「シ」までの振動数の和が4400であるとき、初めの「ド」の振動数 $f$ を使って等比数列の公比 $r$ を表す。

1. 問題の内容

(2) 等比数列 $f_n = r^n f$ において、「ファ#」の振動数（周波数）を $f$ を用いて表す。

(3) 「ド」から「レ」までの振動数の和が800、「ド」から「ファ」までの振動数の和が1800であるとき、「ド」から「ソ#」までの振動数の和を求める。

(4) 「ド」から「シ」までの振動数の和が4400であるとき、初めの「ド」の振動数 $f$ を使って等比数列の公比 $r$ を表す。

2. 解き方の手順

(2) 「ド、ド#、レ、レ#、ミ、ファ、ファ#、ソ、ソ#、ラ、ラ#、シ、ド」という音階の順番が与えられている。$f_n = r^n f$ という式を使う。ここで $f_0 = f$ が「ド」の振動数である。

「ファ#」は7番目の音なので、$f_6 = r^6 f$。$f_{12}=2f$より、$r^{12}f=2f$。$r^{12} = 2$ なので、$r=\sqrt[12]{2}$。よって、$f_6 = (\sqrt[12]{2})^6 f = \sqrt{2} f$。

(3) 「ド」から「レ」までの振動数の和は $f_0 + f_1 + f_2 = f + rf + r^2 f = 800$。

「ド」から「ファ」までの振動数の和は $f_0 + f_1 + f_2 + f_3 + f_4 + f_5 = f + rf + r^2 f + r^3 f + r^4 f + r^5 f = 1800$。

「ド」から「ソ#」までの振動数の和は $f_0 + f_1 + f_2 + f_3 + f_4 + f_5 + f_6 + f_7 + f_8 = f + rf + r^2 f + r^3 f + r^4 f + r^5 f + r^6 f + r^7 f + r^8 f$ を求める。

$f(1+r+r^2) = 800$、 $f(1+r+r^2+r^3+r^4+r^5) = 1800$。

$f(1+r+r^2)(1+r^3) = 1800$。

$800(1+r^3) = 1800$。

$1+r^3 = \frac{1800}{800} = \frac{9}{4}$。

$r^3 = \frac{9}{4} - 1 = \frac{5}{4}$。

$r = \sqrt[3]{\frac{5}{4}}$。しかし、$r^{12} = 2$ なので、$r=\sqrt[12]{2}$を使う。

$f(1+r+r^2+r^3+r^4+r^5+r^6+r^7+r^8) = f(1+r+r^2) + f(r^3+r^4+r^5) + f(r^6+r^7+r^8) = f(1+r+r^2) + r^3 f(1+r+r^2) + r^6 f(1+r+r^2) = 800 + r^3 \times 800 + r^6 \times 800 = 800(1+r^3+r^6)$

$r^{12}=2$より、$r^6=\sqrt{2}$、$r^3=\sqrt[4]{2}$。したがって、$800(1+\sqrt[4]{2}+\sqrt{2}) \approx 800(1+1.189+1.414) \approx 800 \times 3.603 \approx 2882.4$

(4) 「ド」から「シ」までの振動数の和は $f_0 + f_1 + \dots + f_{11} = f + rf + \dots + r^{11} f = 4400$。

$f \frac{1-r^{12}}{1-r} = 4400$。

$r^{12} = 2$ より、$f \frac{1-2}{1-r} = 4400$。

$f \frac{-1}{1-r} = 4400$。

$\frac{f}{r-1} = 4400$。

$r-1 = \frac{f}{4400}$。

$r = \frac{f}{4400} + 1$。

3. 最終的な答え

(2) $\sqrt{2}f$

(3) $800(1+\sqrt[4]{2}+\sqrt{2})$

(4) $r = \frac{f}{4400}+1$