関数 $y = x^2 - 2ax - 2$ の $1 \le x \le 3$ における最大値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 - 2ax - 2$ の $1 \le x \le 3$ における最大値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2ax - 2 = (x - a)^2 - a^2 - 2$

このグラフは、軸が $x = a$ の下に凸な放物線です。区間 $1 \le x \le 3$ における最大値を求めるには、軸の位置によって場合分けが必要です。

(i) $a < 1$ のとき、区間内で $x$ が大きくなるほど $y$ が大きくなるので、$x = 3$ で最大となります。

最大値は $y = 3^2 - 2a(3) - 2 = 9 - 6a - 2 = 7 - 6a$ です。

(ii) $1 \le a \le 3$ のとき、軸が区間内にあるので、$x = 1$ または $x = 3$ で最大となります。

$x=1$ のとき $y = 1^2 - 2a(1) - 2 = 1 - 2a - 2 = -1 - 2a$

$x=3$ のとき $y = 3^2 - 2a(3) - 2 = 9 - 6a - 2 = 7 - 6a$

ここで、$1 \le a \le 3$ において、$-1-2a \le 7-6a$ であるかを検討します。

$-1-2a = 7-6a$ となるのは $4a = 8$, すなわち $a=2$ のときです。

$a < 2$ のとき $-1-2a < 7-6a$, $a > 2$ のとき $-1-2a > 7-6a$ です。

つまり、$1 \le a \le 2$ のとき、最大値は $x=3$ のときの $7-6a$ です。

$2 \le a \le 3$ のとき、最大値は $x=1$ のときの $-1-2a$ です。

(iii) $a > 3$ のとき、区間内で $x$ が小さくなるほど $y$ が大きくなるので、$x = 1$ で最大となります。

最大値は $y = 1^2 - 2a(1) - 2 = 1 - 2a - 2 = -1 - 2a$ です。

以上をまとめると、

$a < 1$ のとき、最大値は $7 - 6a$

$1 \le a \le 2$ のとき、最大値は $7 - 6a$

$2 \le a \le 3$ のとき、最大値は $-1 - 2a$

$a > 3$ のとき、最大値は $-1 - 2a$

さらにまとめると、

$a \le 1$ のとき、最大値は $7 - 6a$

$1 < a \le 2$ のとき、最大値は $7 - 6a$

$2 < a \le 3$ のとき、最大値は $-1 - 2a$

$a > 3$ のとき、最大値は $-1 - 2a$

したがって、

$a \le 2$ のとき、最大値は $7 - 6a$

$a > 2$ のとき、最大値は $-1 - 2a$

3. 最終的な答え

$a \le 2$ のとき、最大値は $7 - 6a$

$a > 2$ のとき、最大値は $-1 - 2a$