与えられた数列の第 $k$ 項を $k$ の式で表し、さらに初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める問題です。数列は $(1), (1+3), (1+3+9), (1+3+9+27), \dots$ と与えられています。

1. 問題の内容

与えられた数列の第 $k$ 項を $k$ の式で表し、さらに初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める問題です。数列は $(1), (1+3), (1+3+9), (1+3+9+27), \dots$ と与えられています。

2. 解き方の手順

数列の第 $k$ 項を $a_k$ とします。

$a_k = 1 + 3 + 3^2 + \dots + 3^{k-1}$ となります。これは初項 $1$、公比 $3$、項数 $k$ の等比数列の和なので、等比数列の和の公式を用いて $a_k$ を求めます。

$a_k = \frac{1(3^k - 1)}{3 - 1} = \frac{3^k - 1}{2}$

次に、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めます。

$S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n \frac{3^k - 1}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n (3^k - 1)$

$S_n = \frac{1}{2} \left( \sum_{k=1}^n 3^k - \sum_{k=1}^n 1 \right)$

$\sum_{k=1}^n 3^k$ は、初項 $3$、公比 $3$、項数 $n$ の等比数列の和なので、

$\sum_{k=1}^n 3^k = \frac{3(3^n - 1)}{3 - 1} = \frac{3(3^n - 1)}{2}$

$\sum_{k=1}^n 1 = n$

したがって、

$S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{3(3^n - 1)}{2} - n \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{3^{n+1} - 3}{2} - n \right) = \frac{3^{n+1} - 3 - 2n}{4}$

3. 最終的な答え

第 $k$ 項: $a_k = \frac{3^k - 1}{2}$

初項から第 $n$ 項までの和: $S_n = \frac{3^{n+1} - 2n - 3}{4}$