問題11では、多項式 $P(x) = x^3 - 2x^2 - 2x - 3$ を、(1) $x-1$ と (2) $2x+1$ で割ったときの余りを求める。 問題12では、(1) $x^3 + 1 = 0$ と (2) $x^4 - 7x^2 - 8 = 0$ の方程式を解く。

1. 問題の内容

問題11では、多項式 $P(x) = x^3 - 2x^2 - 2x - 3$ を、(1) $x-1$ と (2) $2x+1$ で割ったときの余りを求める。

問題12では、(1) $x^3 + 1 = 0$ と (2) $x^4 - 7x^2 - 8 = 0$ の方程式を解く。

2. 解き方の手順

問題11 (1)

余りの定理より、$x-1=0$ となる $x=1$ を $P(x)$ に代入する。

$P(1) = (1)^3 - 2(1)^2 - 2(1) - 3 = 1 - 2 - 2 - 3 = -6$

問題11 (2)

余りの定理より、$2x+1=0$ となる $x = -\frac{1}{2}$ を $P(x)$ に代入する。

$P(-\frac{1}{2}) = (-\frac{1}{2})^3 - 2(-\frac{1}{2})^2 - 2(-\frac{1}{2}) - 3 = -\frac{1}{8} - \frac{1}{2} + 1 - 3 = -\frac{1}{8} - \frac{4}{8} + \frac{8}{8} - \frac{24}{8} = -\frac{21}{8}$

問題12 (1)

$x^3 + 1 = 0$ は $(x+1)(x^2 - x + 1) = 0$ と因数分解できる。

よって、$x+1=0$ または $x^2 - x + 1 = 0$。

$x+1=0$ から $x=-1$。

$x^2 - x + 1 = 0$ を解の公式で解くと、

$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1-4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

問題12 (2)

$x^4 - 7x^2 - 8 = 0$ を解く。

$y = x^2$ とおくと、$y^2 - 7y - 8 = 0$ となる。

$(y-8)(y+1) = 0$ より $y=8$ または $y=-1$。

$x^2 = 8$ から $x = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$。

$x^2 = -1$ から $x = \pm i$。

3. 最終的な答え

問題11 (1) の答え：-6

問題11 (2) の答え：$-\frac{21}{8}$

問題12 (1) の答え：$x = -1, \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

問題12 (2) の答え：$x = \pm 2\sqrt{2}, \pm i$