問題は、次の和を求めることです。 (1) $3 \cdot 2 + 6 \cdot 3 + 9 \cdot 4 + \dots + 3n(n+1)$

1. 問題の内容

問題は、次の和を求めることです。

(1) $3 \cdot 2 + 6 \cdot 3 + 9 \cdot 4 + \dots + 3n(n+1)$

2. 解き方の手順

(1) の和を $S$ とします。

$S = \sum_{k=1}^{n} 3k(k+1) = \sum_{k=1}^{n} (3k^2 + 3k)$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

したがって、

$S = 3\sum_{k=1}^{n} k^2 + 3\sum_{k=1}^{n} k = 3 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 3 \cdot \frac{n(n+1)}{2}$

$S = \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} + \frac{3n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1+3)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+4)}{2} = n(n+1)(n+2)$

3. 最終的な答え

(1) の和は $n(n+1)(n+2)$ です。