直角三角形ABCがあり、AB = a cm、BC = 2a cmである。ABを軸として回転させた円錐をP、BCを軸として回転させた円錐をQとする。 (1) 円錐Pの体積をaで表す。 (2) 円錐Qの体積は円錐Pの体積の何倍か求める。

幾何学円錐体積三平方の定理回転体
2025/6/29

1. 問題の内容

直角三角形ABCがあり、AB = a cm、BC = 2a cmである。ABを軸として回転させた円錐をP、BCを軸として回転させた円錐をQとする。
(1) 円錐Pの体積をaで表す。
(2) 円錐Qの体積は円錐Pの体積の何倍か求める。

2. 解き方の手順

(1) 円錐Pの体積を求める。円錐Pの底面の半径はBC = 2a cmで、高さはAB = a cmである。円錐の体積は(底面積)×(高さ)×(1/3)なので、
P=π(2a)2×a×13P = \pi (2a)^2 \times a \times \frac{1}{3}
P=π4a2×a×13P = \pi 4a^2 \times a \times \frac{1}{3}
P=43πa3P = \frac{4}{3} \pi a^3
(2) 円錐Qの体積を求める。円錐Qの底面の半径はAB = a cmで、高さはBC = 2a cmである。円錐の体積は(底面積)×(高さ)×(1/3)なので、
Q=πa2×2a×13Q = \pi a^2 \times 2a \times \frac{1}{3}
Q=23πa3Q = \frac{2}{3} \pi a^3
円錐Qの体積が円錐Pの体積の何倍かを求めるには、QをPで割ればよい。
QP=23πa343πa3=24=12\frac{Q}{P} = \frac{\frac{2}{3} \pi a^3}{\frac{4}{3} \pi a^3} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

3. 最終的な答え

(1) 円錐Pの体積: 43πa3\frac{4}{3} \pi a^3
(2) 円錐Qの体積は円錐Pの体積の12\frac{1}{2}

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