問題は、∠A = 90° の直角三角形 ABC があり、AB = $2\sqrt{3}$、BC = 4、CA = 2 である。頂点 A から辺 BC に下ろした垂線を AD とする。以下の内積を求めよ。 (2) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BD}$ (3) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA}$

1. 問題の内容

問題は、∠A = 90° の直角三角形 ABC があり、AB = $2\sqrt{3}$、BC = 4、CA = 2 である。頂点 A から辺 BC に下ろした垂線を AD とする。以下の内積を求めよ。

(2) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BD}$

(3) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA}$

2. 解き方の手順

(2) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BD}$ を求める。

まず、$\overrightarrow{BD}$ の長さを求める。三角形 ABD は直角三角形なので、ピタゴラスの定理より、$AD^2 + BD^2 = AB^2$である。また、三角形 ADC も直角三角形なので、$AD^2 + DC^2 = AC^2$である。

BC = BD + DC = 4 であるので、DC = 4 - BD と表せる。

三角形 ABC の面積 S は $S = \frac{1}{2} AB \times AC = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{3} \times 2 = 2\sqrt{3}$ である。

また、S は $S = \frac{1}{2} BC \times AD = \frac{1}{2} \times 4 \times AD = 2AD$ でもある。

したがって、$2\sqrt{3} = 2AD$ より、$AD = \sqrt{3}$ である。

$AD^2 + BD^2 = AB^2$ より、$(\sqrt{3})^2 + BD^2 = (2\sqrt{3})^2$ となる。

$3 + BD^2 = 12$

$BD^2 = 9$

$BD = 3$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BD} = |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{BD}| \cos{\angle ABD}$

$\angle ABD = \angle ABC$ である。

$\cos{\angle ABC} = \frac{AB}{BC} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BD} = (2\sqrt{3}) (3) (\frac{\sqrt{3}}{2}) = 6 \times \frac{3}{2} = 9$

(3) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA}$ を求める。

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA} = |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{CA}| \cos{\angle BAC}$

$\angle BAC = 90^\circ$ なので、$\cos{90^\circ} = 0$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA} = (2\sqrt{3}) (2) (0) = 0$

3. 最終的な答え

(2) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BD} = 9$

(3) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA} = 0$