平面上に $n$ 本の直線があり、どの2本も平行でなく、どの3本も1点で交わらないとき、これらの $n$ 本の直線によって平面がいくつの部分に分けられるかを、$n$ を用いて表す問題です。

1. 問題の内容

平面上に $n$ 本の直線があり、どの2本も平行でなく、どの3本も1点で交わらないとき、これらの $n$ 本の直線によって平面がいくつの部分に分けられるかを、$n$ を用いて表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、$n=0$ のとき、直線がないので、平面は1つの部分に分かれています。

次に、$n=1$ のとき、直線が1本あるので、平面は2つの部分に分かれています。

$n=2$ のとき、直線が2本あるので、平面は4つの部分に分かれています。

$n=3$ のとき、直線が3本あるので、平面は7つの部分に分かれています。

平面が分割される部分の数を $a_n$ とします。$n+1$ 本目の直線を追加するとき、$n$ 本の直線と $n$ 個の点で交わります。したがって、$n+1$ 本目の直線は $n+1$ 個の部分に分割され、平面の分割数を $n+1$ 個増やします。

したがって、$a_{n+1} = a_n + (n+1)$ という漸化式が得られます。

$a_0 = 1$ であるから、

$a_n = a_{n-1} + n$

$= a_{n-2} + (n-1) + n$

$= a_{n-3} + (n-2) + (n-1) + n$

$= \dots$

$= a_0 + 1 + 2 + \dots + n$

$= 1 + \sum_{k=1}^{n} k$

$= 1 + \frac{n(n+1)}{2}$

$= \frac{2 + n^2 + n}{2}$

$= \frac{n^2 + n + 2}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{n^2 + n + 2}{2}$