定積分 $\int_{0}^{2\pi} e^{-t}|\sin t| dt$ を計算してください。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{2\pi} e^{-t}|\sin t| dt$ を計算してください。

2. 解き方の手順

$\sin t$ の絶対値があるので、$0$ から $2\pi$ までの積分範囲を、$\sin t \geq 0$ と $\sin t < 0$ の区間に分けて計算する必要があります。

$\sin t \geq 0$ となるのは、$0 \leq t \leq \pi$ のときです。

$\sin t < 0$ となるのは、$\pi < t \leq 2\pi$ のときです。

したがって、積分を次のように分割できます。

$$\int_{0}^{2\pi} e^{-t}|\sin t| dt = \int_{0}^{\pi} e^{-t}\sin t dt + \int_{\pi}^{2\pi} e^{-t}(-\sin t) dt$$

まず、$\int e^{-t} \sin t dt$ を計算します。部分積分を2回行います。

$I = \int e^{-t} \sin t dt$ と置きます。

$u = \sin t$, $dv = e^{-t} dt$ とすると、$du = \cos t dt$, $v = -e^{-t}$ となるので、

$I = -e^{-t} \sin t - \int (-e^{-t}) \cos t dt = -e^{-t} \sin t + \int e^{-t} \cos t dt$

次に、$u = \cos t$, $dv = e^{-t} dt$ とすると、$du = -\sin t dt$, $v = -e^{-t}$ となるので、

$I = -e^{-t} \sin t + (-e^{-t} \cos t - \int (-e^{-t})(-\sin t) dt) = -e^{-t} \sin t - e^{-t} \cos t - \int e^{-t} \sin t dt$

$I = -e^{-t} \sin t - e^{-t} \cos t - I$

$2I = -e^{-t} (\sin t + \cos t)$

$I = -\frac{1}{2}e^{-t} (\sin t + \cos t)$

したがって、$\int e^{-t} \sin t dt = -\frac{1}{2}e^{-t} (\sin t + \cos t) + C$

次に、分割した積分を計算します。

$\int_{0}^{\pi} e^{-t} \sin t dt = \left[ -\frac{1}{2}e^{-t} (\sin t + \cos t) \right]_{0}^{\pi} = -\frac{1}{2}e^{-\pi} (\sin \pi + \cos \pi) - \left( -\frac{1}{2}e^{0} (\sin 0 + \cos 0) \right) = -\frac{1}{2}e^{-\pi} (0 - 1) + \frac{1}{2}(0 + 1) = \frac{1}{2}e^{-\pi} + \frac{1}{2}$

$\int_{\pi}^{2\pi} e^{-t} (-\sin t) dt = -\int_{\pi}^{2\pi} e^{-t} \sin t dt = - \left[ -\frac{1}{2}e^{-t} (\sin t + \cos t) \right]_{\pi}^{2\pi} = \left[ \frac{1}{2}e^{-t} (\sin t + \cos t) \right]_{\pi}^{2\pi} = \frac{1}{2}e^{-2\pi} (\sin 2\pi + \cos 2\pi) - \frac{1}{2}e^{-\pi} (\sin \pi + \cos \pi) = \frac{1}{2}e^{-2\pi} (0 + 1) - \frac{1}{2}e^{-\pi} (0 - 1) = \frac{1}{2}e^{-2\pi} + \frac{1}{2}e^{-\pi}$

したがって、

$\int_{0}^{2\pi} e^{-t}|\sin t| dt = (\frac{1}{2}e^{-\pi} + \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2}e^{-2\pi} + \frac{1}{2}e^{-\pi}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}e^{-\pi} + \frac{1}{2}e^{-\pi} + \frac{1}{2}e^{-2\pi} = \frac{1}{2} + e^{-\pi} + \frac{1}{2}e^{-2\pi} = \frac{1}{2}(1 + 2e^{-\pi} + e^{-2\pi}) = \frac{1}{2}(1 + e^{-\pi})^2$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}(1 + e^{-\pi})^2$