等比数列 $\{a_n\}$ において、第2項が15、第4項が135であるとき、この数列の一般項を求めよ。

1. 問題の内容

等比数列 $\{a_n\}$ において、第2項が15、第4項が135であるとき、この数列の一般項を求めよ。

2. 解き方の手順

等比数列の一般項を $a_n = ar^{n-1}$ とおく。ここで $a$ は初項、$r$ は公比、$n$ は項の番号である。

問題文より、第2項が15、第4項が135なので、以下の2つの式が成り立つ。

$ar = 15$

$ar^3 = 135$

これらの式を使って、$a$ と $r$ の値を求める。

2番目の式を1番目の式で割ると、

$\frac{ar^3}{ar} = \frac{135}{15}$

$r^2 = 9$

よって、$r = \pm 3$

(i) $r = 3$ のとき、 $ar = 15$ より、$3a = 15$ なので、$a = 5$。

したがって、一般項は $a_n = 5 \cdot 3^{n-1}$。

(ii) $r = -3$ のとき、$ar = 15$ より、$-3a = 15$ なので、$a = -5$。

したがって、一般項は $a_n = -5 \cdot (-3)^{n-1}$。

3. 最終的な答え

$a_n = 5 \cdot 3^{n-1}$ または $a_n = -5 \cdot (-3)^{n-1}$