直線 $y = a(x-2)$ と放物線 $y = x^2 - 2x$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) 直線と放物線で囲まれた図形の面積 $S_1$ を $a$ を用いて表す。 (2) 直線、放物線、および $y$ 軸すべてで囲まれた図形の面積を $S_2$ とし、$S = S_1 + S_2$ とする。$S$ を $a$ を用いて表す。 (3) $0 < a < 2$ の範囲で $a$ が変化するとき、$S$ の最小値を求め、そのときの $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

直線 $y = a(x-2)$ と放物線 $y = x^2 - 2x$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) 直線と放物線で囲まれた図形の面積 $S_1$ を $a$ を用いて表す。

(2) 直線、放物線、および $y$ 軸すべてで囲まれた図形の面積を $S_2$ とし、$S = S_1 + S_2$ とする。$S$ を $a$ を用いて表す。

(3) $0 < a < 2$ の範囲で $a$ が変化するとき、$S$ の最小値を求め、そのときの $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $S_1$ を求める。まず、直線と放物線の交点を求める。

$a(x-2) = x^2 - 2x$

$ax - 2a = x^2 - 2x$

$x^2 - (2+a)x + 2a = 0$

$(x-2)(x-a) = 0$

よって、交点の $x$ 座標は $x=2$ と $x=a$ である。

$S_1$ は、$\int_a^2 \{a(x-2) - (x^2-2x)\} dx$ で計算できる。

$S_1 = \int_a^2 (ax - 2a - x^2 + 2x) dx = \int_a^2 (-x^2 + (2+a)x - 2a) dx$

$= \left[ -\frac{1}{3}x^3 + \frac{2+a}{2}x^2 - 2ax \right]_a^2$

$= \left( -\frac{8}{3} + 2(2+a) - 4a \right) - \left( -\frac{1}{3}a^3 + \frac{2+a}{2}a^2 - 2a^2 \right)$

$= -\frac{8}{3} + 4 + 2a - 4a + \frac{1}{3}a^3 - a^2 - \frac{1}{2}a^3 + 2a^2 = \frac{1}{6}a^3 + \frac{1}{2}a^2 - 2a + \frac{4}{3}$

$S_1 = -\frac{1}{6}(a-2)^3 = -\frac{1}{6}(a^3 - 6a^2 + 12a - 8) = -\frac{1}{6} a^3 + a^2 - 2a + \frac{4}{3}$

よって、S1は$-\frac{1}{6}a^3 + a^2 - 2a + \frac{4}{3}$である。

これより、アイ＝-1/6, ウ＝1, エ＝-2, オ＝4/3

(2) $S_2$ は、$\int_0^a (x^2-2x) dx - \int_0^a a(x-2) dx$

$S_2 = \int_0^a (x^2-2x)dx = [\frac{1}{3}x^3-x^2]_0^a = \frac{1}{3}a^3 - a^2$

$S_2 = -\int_0^a (a(x-2))dx=-\int_0^a (ax-2a) dx=-[\frac{1}{2}ax^2 - 2ax]_0^a = -(\frac{1}{2}a^3 - 2a^2) = -\frac{1}{2}a^3 + 2a^2$

$S_2 = \frac{1}{3}a^3 - a^2 + (-\frac{1}{2}a^3+2a^2) = (\frac{1}{3} - \frac{1}{2}) a^3 + ( -1+2 )a^2 = -\frac{1}{6}a^3+a^2$.

$S = S_1 + S_2 = (-\frac{1}{6}a^3 + a^2 - 2a + \frac{4}{3}) + (-\frac{1}{6}a^3+a^2) = -\frac{1}{3}a^3 + 2a^2 - 2a + \frac{4}{3}$

S = $-\frac{1}{3}a^3+2a^2-2a+\frac{4}{3}$。よって、キク＝-1/3, ケ＝2, コ＝-2, サ＝2, シ＝4/3

(3) $S$ を $a$ で微分する。

$S' = -a^2 + 4a - 2$

$S'=0$ となる $a$ を求める。

$a^2 - 4a + 2 = 0$

$a = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$

$0 < a < 2$ より、$a = 2 - \sqrt{2}$

$S'' = -2a + 4 = -2(2-\sqrt{2}) + 4 = 2\sqrt{2} > 0$ なので、$a = 2-\sqrt{2}$ で最小値を取る。

$a = 2 - \sqrt{2}$ を $S$ に代入する。

$S = -\frac{1}{3}(2-\sqrt{2})^3 + 2(2-\sqrt{2})^2 - 2(2-\sqrt{2}) + \frac{4}{3}$

$S = -\frac{1}{3}(8 - 12\sqrt{2} + 12 - 2\sqrt{2}) + 2(4 - 4\sqrt{2} + 2) - 4 + 2\sqrt{2} + \frac{4}{3}$

$S = -\frac{1}{3}(20 - 14\sqrt{2}) + 2(6 - 4\sqrt{2}) - 4 + 2\sqrt{2} + \frac{4}{3}$

$S = -\frac{20}{3} + \frac{14\sqrt{2}}{3} + 12 - 8\sqrt{2} - 4 + 2\sqrt{2} + \frac{4}{3}$

$S = (-\frac{20}{3} + 12 - 4 + \frac{4}{3}) + (\frac{14}{3} - 8 + 2)\sqrt{2}$

$S = (-\frac{16}{3} + 8) + (\frac{14}{3} - 6)\sqrt{2} = \frac{8}{3} - \frac{4}{3}\sqrt{2} = \frac{8-4\sqrt{2}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) アイ=-1/6, ウ=1, エ=-2, オ=4/3

(2) キク=-1/3, ケ=2, コ=-2, サ=2, シ=4/3

(3) セ=2, ソ=2, タ=8, チ=-4, ツ=3, テ=2-√2