与えられた4つの極限値を求める問題です。 (i) $\lim_{x \to 0+} (2x)^{3x}$ (ii) $\lim_{x \to \infty} e^{-x} (3x^4 + 2x)$ (iii) $\lim_{x \to 0} (\frac{1}{\sin x} - \frac{1}{x})$ (iv) $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$

1. 問題の内容

与えられた4つの極限値を求める問題です。

(i) $\lim_{x \to 0+} (2x)^{3x}$

(ii) $\lim_{x \to \infty} e^{-x} (3x^4 + 2x)$

(iii) $\lim_{x \to 0} (\frac{1}{\sin x} - \frac{1}{x})$

(iv) $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$

2. 解き方の手順

(i) $y = (2x)^{3x}$ とおきます。両辺の自然対数をとると、

$\ln y = 3x \ln(2x)$

$\lim_{x \to 0+} \ln y = \lim_{x \to 0+} 3x \ln(2x) = 3 \lim_{x \to 0+} \frac{\ln(2x)}{1/x}$

ここでロピタルの定理を用いると、

$3 \lim_{x \to 0+} \frac{1/x}{-1/x^2} = 3 \lim_{x \to 0+} (-x) = 0$

よって、$\lim_{x \to 0+} \ln y = 0$ より $\lim_{x \to 0+} y = e^0 = 1$

(ii) $\lim_{x \to \infty} e^{-x} (3x^4 + 2x) = \lim_{x \to \infty} \frac{3x^4 + 2x}{e^x}$

ロピタルの定理を繰り返し用いると、

$\lim_{x \to \infty} \frac{12x^3 + 2}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{36x^2}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{72x}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{72}{e^x} = 0$

(iii) $\lim_{x \to 0} (\frac{1}{\sin x} - \frac{1}{x}) = \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x \sin x}$

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$ より

$\lim_{x \to 0} \frac{x - (x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots)}{x(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots)} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{6} - \frac{x^5}{120} + \cdots}{x^2 - \frac{x^4}{6} + \frac{x^6}{120} - \cdots} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{6} - \frac{x^3}{120} + \cdots}{1 - \frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} - \cdots} = \frac{0}{1} = 0$

または、ロピタルの定理を適用すると

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\sin x + x \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\cos x + \cos x - x \sin x} = \frac{0}{1 + 1 - 0} = 0$

(iv) $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$ より

$\lim_{x \to 0} \frac{x - (x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots)}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{6} - \frac{x^5}{120} + \cdots}{x^3} = \lim_{x \to 0} (\frac{1}{6} - \frac{x^2}{120} + \cdots) = \frac{1}{6}$

または、ロピタルの定理を適用すると

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{6x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{6} = \frac{1}{6}$

3. 最終的な答え

(i) 1

(ii) 0

(iii) 0

(iv) 1/6