$\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{e^2}{2}} \log(2x) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

$\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{e^2}{2}} \log(2x) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を使って計算します。

$u = \log(2x)$, $dv = dx$ とおくと、

$du = \frac{1}{x} dx$, $v = x$ となります。

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を適用すると、

$\int \log(2x) dx = x \log(2x) - \int x \cdot \frac{1}{x} dx$

$= x \log(2x) - \int 1 dx$

$= x \log(2x) - x + C$

したがって、定積分は次のようになります。

$\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{e^2}{2}} \log(2x) dx = \left[ x \log(2x) - x \right]_{\frac{1}{2}}^{\frac{e^2}{2}}$

$= \left( \frac{e^2}{2} \log(e^2) - \frac{e^2}{2} \right) - \left( \frac{1}{2} \log(1) - \frac{1}{2} \right)$

$= \left( \frac{e^2}{2} \cdot 2 - \frac{e^2}{2} \right) - \left( \frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} \right)$

$= e^2 - \frac{e^2}{2} + \frac{1}{2}$

$= \frac{e^2}{2} + \frac{1}{2}$

$= \frac{e^2+1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{e^2+1}{2}$