2次方程式 $x^2 - 2(m-2)x - m + 14 = 0$ が異なる2つの正の解を持つときの、定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2(m-2)x - m + 14 = 0$ が異なる2つの正の解を持つときの、定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

異なる2つの正の解を持つ条件は以下の3つです。

(1) 判別式 $D > 0$ (異なる2つの実数解を持つ)

(2) 解の和 $> 0$ (2つの解がともに正であるため)

(3) 解の積 $> 0$ (2つの解がともに正であるため)

まず、判別式 $D$ を計算します。

$D = \{ -2(m-2) \}^2 - 4(1)(-m+14)$

$D = 4(m^2 - 4m + 4) + 4m - 56$

$D = 4m^2 - 16m + 16 + 4m - 56$

$D = 4m^2 - 12m - 40$

$D > 0$ より、

$4m^2 - 12m - 40 > 0$

$m^2 - 3m - 10 > 0$

$(m-5)(m+2) > 0$

よって、$m < -2$ または $m > 5$ ...(1)

次に、解の和を計算します。解の和は、解と係数の関係より

$2(m-2) > 0$

$m-2 > 0$

$m > 2$ ...(2)

最後に、解の積を計算します。解の積は、解と係数の関係より

$-m + 14 > 0$

$m < 14$ ...(3)

(1), (2), (3) の共通範囲を求めます。

(1) より、$m < -2$ または $m > 5$

(2) より、$m > 2$

(3) より、$m < 14$

数直線上で考えると、$5 < m < 14$

3. 最終的な答え

$5 < m < 14$