与えられた数列の和を計算します。具体的には、問題(3)は $\sum_{k=1}^{n-1} k(k+3)$ を計算しなさい、ということです。

1. 問題の内容

与えられた数列の和を計算します。具体的には、問題(3)は $\sum_{k=1}^{n-1} k(k+3)$ を計算しなさい、ということです。

2. 解き方の手順

まず、与えられたシグマの中身を展開します。

$\sum_{k=1}^{n-1} k(k+3) = \sum_{k=1}^{n-1} (k^2 + 3k)$

次に、シグマを分配します。

$\sum_{k=1}^{n-1} (k^2 + 3k) = \sum_{k=1}^{n-1} k^2 + 3\sum_{k=1}^{n-1} k$

$\sum_{k=1}^{n-1} k^2$ と $\sum_{k=1}^{n-1} k$ をそれぞれ計算します。

$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$

$\sum_{k=1}^{n-1} k^2 = \frac{(n-1)n(2(n-1)+1)}{6} = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$

上記の式を代入して計算します。

$\sum_{k=1}^{n-1} k^2 + 3\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} + 3\frac{(n-1)n}{2}$

$= \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} + \frac{9(n-1)n}{6}$

$= \frac{(n-1)n}{6} (2n-1 + 9)$

$= \frac{(n-1)n}{6} (2n+8)$

$= \frac{(n-1)n(2n+8)}{6}$

$= \frac{2(n-1)n(n+4)}{6}$

$= \frac{(n-1)n(n+4)}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{(n-1)n(n+4)}{3}$