関数 $y = x^2 + 3x + 3$ の、$0 < x \leq 2$ における値域を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 + 3x + 3$ の、$0 < x \leq 2$ における値域を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 + 3x + 3$

$y = (x + \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 + 3$

$y = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + \frac{12}{4}$

$y = (x + \frac{3}{2})^2 + \frac{3}{4}$

このグラフは下に凸で、頂点の座標は$(-\frac{3}{2}, \frac{3}{4})$です。

定義域は$0 < x \leq 2$ なので、この範囲での $y$ の値を考えます。

$x=0$ のとき、$y = 0^2 + 3(0) + 3 = 3$

$x=2$ のとき、$y = 2^2 + 3(2) + 3 = 4 + 6 + 3 = 13$

頂点の $x$ 座標は $-\frac{3}{2}$ なので、定義域 $0 < x \leq 2$ の範囲には頂点は含まれません。

$x$ が増加するにつれて、$y$ の値も増加します。

したがって、$x$ が $0$ に限りなく近づくとき、$y$ は $3$ に限りなく近づき、$x=2$ のとき $y=13$ です。

3. 最終的な答え

$3 < y \leq 13$