問題は、次の数列の和を求めることです。 $1^2 \cdot 2 + 2^2 \cdot 3 + 3^2 \cdot 4 + \dots + n^2(n+1)$

1. 問題の内容

問題は、次の数列の和を求めることです。

$1^2 \cdot 2 + 2^2 \cdot 3 + 3^2 \cdot 4 + \dots + n^2(n+1)$

2. 解き方の手順

まず、一般項を $a_k$ とすると、

$a_k = k^2(k+1) = k^3 + k^2$

となります。

求める和を $S_n$ とすると、

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (k^3 + k^2) = \sum_{k=1}^{n} k^3 + \sum_{k=1}^{n} k^2$

となります。

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

したがって、

$S_n = \frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$= \frac{3n^2(n+1)^2 + 2n(n+1)(2n+1)}{12}$

$= \frac{n(n+1)[3n(n+1) + 2(2n+1)]}{12}$

$= \frac{n(n+1)[3n^2 + 3n + 4n + 2]}{12}$

$= \frac{n(n+1)[3n^2 + 7n + 2]}{12}$

$= \frac{n(n+1)(n+2)(3n+1)}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(n+2)(3n+1)}{12}$