関数 $f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x$ の増減表を作成し、空欄を埋める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x$ の増減表を作成し、空欄を埋める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$を微分して$f'(x)$を求めます。

$f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x$

$f'(x) = 3x^2 + 6x - 9$

次に、$f'(x) = 0$となる$x$を求めます。

$3x^2 + 6x - 9 = 0$

$x^2 + 2x - 3 = 0$

$(x+3)(x-1) = 0$

$x = -3, 1$

$f(-3)$ の値は問題文に与えられており、$f(-3) = 27$です。

$f(1)$を計算します。

$f(1) = (1)^3 + 3(1)^2 - 9(1) = 1 + 3 - 9 = -5$

増減表を埋めるために、$x < -3$, $-3 < x < 1$, $x > 1$ での $f'(x)$ の符号を調べます。

$x < -3$ のとき、$x = -4$ とすると、$f'(-4) = 3(-4)^2 + 6(-4) - 9 = 48 - 24 - 9 = 15 > 0$

$-3 < x < 1$ のとき、$x = 0$ とすると、$f'(0) = 3(0)^2 + 6(0) - 9 = -9 < 0$

$x > 1$ のとき、$x = 2$ とすると、$f'(2) = 3(2)^2 + 6(2) - 9 = 12 + 12 - 9 = 15 > 0$

したがって、増減表は以下のようになります。

| x | $\cdots$ | -3 | $\cdots$ | 1 | $\cdots$ |

| :----: | :------: | :----: | :------: | :----: | :------: |

| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | 増加 | 27 | 減少 | -5 | 増加 |

3. 最終的な答え

1. $f'(x) = 3x^2 + 6x - 9$

2. $x = 1$

3. $f(1) = -5$