関数 $f(x) = (3x + \sqrt{x})^2 (4x^3 + 4\sqrt{x} + 2)^2$ が与えられています。このとき、$f'(0)$ の値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = (3x + \sqrt{x})^2 (4x^3 + 4\sqrt{x} + 2)^2$ が与えられています。このとき、$f'(0)$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を $f(x) = u(x)v(x)$ とおきます。ここで、$u(x) = (3x + \sqrt{x})^2$、$v(x) = (4x^3 + 4\sqrt{x} + 2)^2$ です。積の微分法を用いると、

$f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$

となります。

次に、$u'(x)$ と $v'(x)$ を計算します。

$u(x) = (3x + \sqrt{x})^2$ なので、$u'(x) = 2(3x + \sqrt{x})(3 + \frac{1}{2\sqrt{x}}) = 6(3x + \sqrt{x}) + \frac{3x + \sqrt{x}}{\sqrt{x}} = 18x + 6\sqrt{x} + 3\sqrt{x} + 1 = 18x + 9\sqrt{x} + 1$

$v(x) = (4x^3 + 4\sqrt{x} + 2)^2$ なので、$v'(x) = 2(4x^3 + 4\sqrt{x} + 2)(12x^2 + \frac{2}{\sqrt{x}}) = (8x^3 + 8\sqrt{x} + 4)(12x^2 + \frac{2}{\sqrt{x}}) = 96x^5 + \frac{16x^3}{\sqrt{x}} + 96x^{5/2} + 16 + 48x^2 + \frac{8}{\sqrt{x}}$

$f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$

$f'(x) = (18x + 9\sqrt{x} + 1)(4x^3 + 4\sqrt{x} + 2)^2 + (3x + \sqrt{x})^2(8x^3 + 8\sqrt{x} + 4)(12x^2 + \frac{2}{\sqrt{x}})$

$x=0$ を代入すると、

$u'(0) = 1$

$v(0) = (4(0)^3 + 4\sqrt{0} + 2)^2 = 2^2 = 4$

$u(0) = (3(0) + \sqrt{0})^2 = 0^2 = 0$

$f'(0) = u'(0)v(0) + u(0)v'(0) = 1 \cdot 4 + 0 \cdot v'(0) = 4$

3. 最終的な答え

$f'(0) = 4$