曲線 $y = x^3 + x^2 - x - 1$ 上の点 $(1, 0)$ における接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^3 + x^2 - x - 1$ 上の点 $(1, 0)$ における接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた曲線 $y = x^3 + x^2 - x - 1$ を微分して、導関数 $y'$ を求めます。導関数は、曲線の各点における接線の傾きを表します。

$y' = \frac{dy}{dx} = 3x^2 + 2x - 1$

次に、点 $(1, 0)$ における接線の傾きを求めるために、導関数 $y'$ に $x = 1$ を代入します。

$y'(1) = 3(1)^2 + 2(1) - 1 = 3 + 2 - 1 = 4$

したがって、点 $(1, 0)$ における接線の傾きは 4 です。

接線の傾きが 4 で、点 $(1, 0)$ を通る直線の式を求めます。直線の方程式は一般的に $y = mx + b$ の形で表され、ここで $m$ は傾き、$b$ は y 切片です。今回は $m = 4$ なので、接線の方程式は $y = 4x + b$ となります。

点 $(1, 0)$ を通ることから、この方程式に $x = 1$、$y = 0$ を代入して $b$ を求めます。

$0 = 4(1) + b$

$b = -4$

したがって、接線の方程式は $y = 4x - 4$ となります。

3. 最終的な答え

$y = 4x - 4$