曲線 $y = x^2 + x$ 上の点 $(1,1)$ から引いた接線の方程式と接点の座標を求める問題です。ただし、点(1,1)は曲線上の点ではないので、点(1,1)を通る接線を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^2 + x$ 上の点 $(1,1)$ から引いた接線の方程式と接点の座標を求める問題です。ただし、点(1,1)は曲線上の点ではないので、点(1,1)を通る接線を求める問題です。

2. 解き方の手順

接点の座標を $(t, t^2+t)$ とします。

$y = x^2 + x$ を微分すると、

$\frac{dy}{dx} = 2x + 1$

よって、接点 $(t, t^2+t)$ における接線の傾きは $2t + 1$ となります。

したがって、接線の方程式は

$y - (t^2+t) = (2t+1)(x - t)$

と表せます。

この接線が点 (1,1) を通るので、 $x = 1$, $y = 1$ を代入すると

$1 - (t^2+t) = (2t+1)(1-t)$

$1 - t^2 - t = 2t + 1 - 2t^2 - t$

$t^2 - 2t = 0$

$t(t-2) = 0$

よって、$t = 0, 2$ となります。

(i) $t = 0$ のとき、接点は $(0, 0^2 + 0) = (0, 0)$

接線の傾きは $2(0) + 1 = 1$

接線の方程式は $y - 0 = 1(x - 0)$ より $y = x$

(ii) $t = 2$ のとき、接点は $(2, 2^2 + 2) = (2, 6)$

接線の傾きは $2(2) + 1 = 5$

接線の方程式は $y - 6 = 5(x - 2)$ より $y = 5x - 4$

3. 最終的な答え

接線の方程式が $y = x$ のとき、接点は $(0, 0)$

接線の方程式が $y = 5x - 4$ のとき、接点は $(2, 6)$