関数 $f(x) = (7x^2 + 2x)^{\frac{3}{2}}$ が与えられたとき、$f'(1)$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = (7x^2 + 2x)^{\frac{3}{2}}$ が与えられたとき、$f'(1)$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を微分して $f'(x)$ を求めます。

$f(x) = (7x^2 + 2x)^{\frac{3}{2}}$ を微分するには、連鎖律 (chain rule) を使います。

連鎖律は、関数 $f(g(x))$ の微分が $f'(g(x)) \cdot g'(x)$ であることを示しています。

この場合、$g(x) = 7x^2 + 2x$ であり、$f(u) = u^{\frac{3}{2}}$ と考えることができます。

まず、$g'(x)$ を求めます。

$g'(x) = 14x + 2$

次に、$f'(u)$ を求めます。

$f'(u) = \frac{3}{2} u^{\frac{1}{2}}$

したがって、$f'(x)$ は次のようになります。

$f'(x) = \frac{3}{2} (7x^2 + 2x)^{\frac{1}{2}} \cdot (14x + 2)$

$f'(1)$ を求めるには、$f'(x)$ に $x = 1$ を代入します。

$f'(1) = \frac{3}{2} (7(1)^2 + 2(1))^{\frac{1}{2}} \cdot (14(1) + 2)$

$f'(1) = \frac{3}{2} (7 + 2)^{\frac{1}{2}} \cdot (14 + 2)$

$f'(1) = \frac{3}{2} (9)^{\frac{1}{2}} \cdot (16)$

$f'(1) = \frac{3}{2} \cdot 3 \cdot 16$

$f'(1) = \frac{3}{2} \cdot 48$

$f'(1) = 3 \cdot 24$

$f'(1) = 72$

3. 最終的な答え

72