曲線 $y = 2x^2 - 1$ 上の点から点 $(2, 5)$ に引かれた接線の方程式と接点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = 2x^2 - 1$ 上の点から点 $(2, 5)$ に引かれた接線の方程式と接点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、接点の座標を $(t, 2t^2 - 1)$ とおきます。

次に、$y = 2x^2 - 1$ を微分して、導関数を求めます。

$y' = 4x$

接点 $(t, 2t^2 - 1)$ における接線の傾きは $4t$ です。

したがって、接線の方程式は次のようになります。

$y - (2t^2 - 1) = 4t(x - t)$

この接線が点 $(2, 5)$ を通ることから、次の方程式が成り立ちます。

$5 - (2t^2 - 1) = 4t(2 - t)$

これを解いて $t$ の値を求めます。

$6 - 2t^2 = 8t - 4t^2$

$2t^2 - 8t + 6 = 0$

$t^2 - 4t + 3 = 0$

$(t - 1)(t - 3) = 0$

$t = 1, 3$

$t=1$ のとき、接点は $(1, 2(1)^2 - 1) = (1, 1)$ であり、接線の傾きは $4(1) = 4$ なので、接線の方程式は $y - 1 = 4(x - 1)$ となり、$y = 4x - 3$ です。

$t=3$ のとき、接点は $(3, 2(3)^2 - 1) = (3, 17)$ であり、接線の傾きは $4(3) = 12$ なので、接線の方程式は $y - 17 = 12(x - 3)$ となり、$y = 12x - 19$ です。

3. 最終的な答え

接線の方程式が $y = 4x - 3$ のとき、接点は $(1, 1)$ です。

接線の方程式が $y = 12x - 19$ のとき、接点は $(3, 17)$ です。