ベクトル $\vec{a} = (2, -4)$、$\vec{b} = (-1, 3)$、$\vec{c} = (1, -4)$ が与えられている。ベクトル $\vec{a} + t\vec{b}$ が $\vec{c}$ と平行になるような実数 $t$ の値を求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (2, -4)$、$\vec{b} = (-1, 3)$、$\vec{c} = (1, -4)$ が与えられている。ベクトル $\vec{a} + t\vec{b}$ が $\vec{c}$ と平行になるような実数 $t$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{a} + t\vec{b}$ を計算する。

$\vec{a} + t\vec{b} = (2, -4) + t(-1, 3) = (2 - t, -4 + 3t)$

次に、$\vec{a} + t\vec{b}$ が $\vec{c}$ と平行である条件を考える。2つのベクトルが平行であるとき、一方のベクトルを定数倍することで他方のベクトルになる。したがって、ある実数 $k$ が存在して、

$\vec{a} + t\vec{b} = k\vec{c}$

が成り立つ。つまり、

$(2 - t, -4 + 3t) = k(1, -4) = (k, -4k)$

このベクトル方程式は、次の2つの式に分解できる。

$2 - t = k$

$-4 + 3t = -4k$

1つ目の式から $k = 2 - t$ を得る。これを2つ目の式に代入する。

$-4 + 3t = -4(2 - t)$

$-4 + 3t = -8 + 4t$

$t = 4$

3. 最終的な答え

$t = 4$